08.2 – Behälter mit Rohrleitungssystem

 

An einem großen Behälter ist ein zylindrisches Rohrleitungssystem mit dem konstanten Durchmesser d=2r angeschlossen. Die Höhendifferenz zwischen dem konstanten Flüssigkeitsspiegel und dem Austritt aus der Rohrleitung beträgt H. Der Druck p_i auf der Flüssigkeitsoberfläche ist über ein Ventil regelbar. Die Strömung durch das Rohrleitungssystem der Länge L ist verlustbehaftet. Die Flüssigkeit tritt am Ende der Rohrleitung in die Umgebung (Umgebungsdruck p_a) als Freistrahl aus. Im Punkt 1 ist im Abstand L_1 vom Rohrende eine Druckbohrung angebracht.

Behälter mit Rohrleitungssystem

Gegeben:

{p_a} = 1bar,\quad r = 0,05m,\quad H = 3m,\quad L = 4m,\quad {L_1} = 2m

\nu  = 1,5 \cdot {10^{-6}}\frac{{{m^2}}} {s},\quad \rho  = 1000\frac{{kg}} {{{m^3}}},\quad g = 9,81\frac{m} {{{s^2}}}

Hinweis:

Druckverlust in vollausgebildeter Rohrströmung: \Delta p = \frac{\rho } {2}{{\bar u}^2}\frac{L} {d}\lambda

  1. Berechnen Sie unter Berücksichtigung der Reibungsverluste die gemittelte Geschwindigkeit {{\bar u}_2}, mit der die Flüssigkeit am Rohrende in die Umgebung austritt, wenn das Ventil geöffnet wird, so dass auf die Flüssigkeitsoberfläche der Umgebungsdruck p_a wirkt. Die kinematische Viskosität der Flüssigkeit ist \nu. Der Reibungsbeiwert für dieses spezielle, sehr glatte Rohr soll über \lambda  = \frac{{1500}}{{\operatorname{Re} }} abgeschätzt werden.
  2. Das Ventil wird nun geschlossen und im Behälter ein konstanter Druck p_i angelegt. An der Druckbohrung im Punkt 1 wird ein Druck p_1=1,05p_a gemessen. Berechnen Sie unter Berücksichtigung der Reibungsverluste die gemittelte Geschwindigkeit \bar u_2^* am Austritt. Bestimmen Sie die Reynolds-Zahl der Strömung.

Lösung

a )

Wir stellen zunächst die Bernoulligleichung für den Übergang von Position 0 nach Position 2 auf:

\underbrace {{p_0}}_{{p_a}}+\frac{\rho } {2}\underbrace {u_0^2}_0+\rho g\underbrace {{z_0}}_H = \underbrace {{p_2}}_{{p_a}}+\frac{\rho } {2}\underbrace {u_2^2}_{\bar u_2^2}+\rho g\underbrace {{z_2}}_0+\underbrace {\Delta p}_{Reibung}

Der Druckverlust entsteht während der Strömung durch Reibung. Der Term \Delta p muss also immer stromabwärts addiert werden.

\Delta p = \frac{\rho } {2}{{\bar u}^2}\frac{L} {d}\lambda ,\quad \quad \lambda  = \frac{{1500}} {{\operatorname{Re} }}

Einsetzen:

\rho gH = \frac{\rho } {2}{{\bar u}^2}+\frac{\rho } {2}\bar u_2^2\frac{L} {d}\frac{{1500\nu }} {{{{\bar u}_2}d}}\quad  \Rightarrow \quad 0 = \bar u_2^2+{{\bar u}_2}\underbrace {\frac{L} {{{d^2}}}\nu 1500}_p\underbrace {-2gH}_q

Wir nutzen die pq-Formel zur Lösung der quadratischen Gleichung:

{{\bar u}_2} = -\frac{p} {2} \pm \sqrt {\frac{{{p^2}}} {4}-q}

{{\bar u}_2} = -\frac{{\frac{L} {{{d^2}}}1500}} {2}\nu  \pm \sqrt {\frac{{{{\left( {\frac{L} {{{d^2}}}\nu 1500} \right)}^2}}} {4}+2gH}

{{\bar u}_2} = -\frac{{4m}} {{0,01{m^2}}}\frac{{1500}} {2}1,5 \cdot {10^{-6}}\frac{{{m^2}}} {s} \pm \sqrt {\frac{{{{\left( {\frac{{4m}} {{0,01{m^2}}}1,5 \cdot {{10}^{-6}}\frac{{{m^2}}} {s}1500} \right)}^2}}} {4}+2 \cdot 9,81\frac{m} {{{s^2}}}3m}

{{\bar u}_2} = -\frac{4} {{0,01}}\frac{{1500}} {2}1,5 \cdot {10^{-6}}\frac{m} {s} \pm \sqrt {\frac{{{{\left( {\frac{4} {{0,01}}1,5 \cdot {{10}^{-6}}1500} \right)}^2}}} {4}+2 \cdot 9,81 \cdot 3} \frac{m} {s}

{{\bar u}_2} = 7,235\frac{m} {s}

(Laut Übungsleiter: {{\bar u}_2} = 7,45\frac{m}{s})

b )

Wir stellen die Bernoulligleichung von Position 1 nach Position 2 auf:

\underbrace {{p_1}}_{1,05{p_a}}+\frac{\rho } {2}\underbrace {u_1^2}_{\bar u_2^{*2}}+\rho g\underbrace {{z_1}}_0 = \underbrace {{p_2}}_{{p_a}}+\frac{\rho } {2}\underbrace {u_2^2}_{\bar u_2^{*2}}+\rho g\underbrace {{z_2}}_0+\Delta p

\Delta p = \frac{\rho } {2}\bar u_2^{*2}\frac{L} {d}\lambda ,\quad \lambda  = \frac{{1500}} {{\bar u_2^*d}}\nu

\Rightarrow \quad 1,05{p_a} = {p_a}+\frac{\rho } {2}\bar u_2^{*2}\frac{L} {d}\frac{{1500}} {{\bar u_2^*d}}\nu

\bar u_2^* = 0,05{p_a}\frac{2} {\rho }\frac{d} {{{L_1}}}\frac{{2r}} {{1500\nu }} = 22,2\frac{m} {s}

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