08.2 – Behälter mit Rohrleitungssystem

An einem großen Behälter ist ein zylindrisches Rohrleitungssystem mit dem konstanten Durchmesser $d=2r$ angeschlossen. Die Höhendifferenz zwischen dem konstanten Flüssigkeitsspiegel und dem Austritt aus der Rohrleitung beträgt $H$ . Der Druck $p_i$ auf der Flüssigkeitsoberfläche ist über ein Ventil regelbar. Die Strömung durch das Rohrleitungssystem der Länge $L$ ist verlustbehaftet. Die Flüssigkeit tritt am Ende der Rohrleitung in die Umgebung (Umgebungsdruck $p_a$ ) als Freistrahl aus. Im Punkt 1 ist im Abstand $L_1$ vom Rohrende eine Druckbohrung angebracht.

Behälter mit Rohrleitungssystem

Gegeben:

${p_a} = 1bar,\quad r = 0,05m,\quad H = 3m,\quad L = 4m,\quad {L_1} = 2m$

$\nu = 1,5 \cdot {10^{-6}}\frac{{{m^2}}} {s},\quad \rho = 1000\frac{{kg}} {{{m^3}}},\quad g = 9,81\frac{m} {{{s^2}}}$

Hinweis:

Druckverlust in vollausgebildeter Rohrströmung: $\Delta p = \frac{\rho } {2}{{\bar u}^2}\frac{L} {d}\lambda$

Berechnen Sie unter Berücksichtigung der Reibungsverluste die gemittelte Geschwindigkeit ${{\bar u}_2}$ , mit der die Flüssigkeit am Rohrende in die Umgebung austritt, wenn das Ventil geöffnet wird, so dass auf die Flüssigkeitsoberfläche der Umgebungsdruck $p_a$ wirkt. Die kinematische Viskosität der Flüssigkeit ist $\nu$ . Der Reibungsbeiwert für dieses spezielle, sehr glatte Rohr soll über $\lambda = \frac{{1500}}{{\operatorname{Re} }}$ abgeschätzt werden.
Das Ventil wird nun geschlossen und im Behälter ein konstanter Druck $p_i$ angelegt. An der Druckbohrung im Punkt 1 wird ein Druck $p_1=1,05p_a$ gemessen. Berechnen Sie unter Berücksichtigung der Reibungsverluste die gemittelte Geschwindigkeit $\bar u_2^*$ am Austritt. Bestimmen Sie die Reynolds-Zahl der Strömung.

Lösung

a )

Wir stellen zunächst die Bernoulligleichung für den Übergang von Position 0 nach Position 2 auf:

$\underbrace {{p_0}}_{{p_a}}+\frac{\rho } {2}\underbrace {u_0^2}_0+\rho g\underbrace {{z_0}}_H = \underbrace {{p_2}}_{{p_a}}+\frac{\rho } {2}\underbrace {u_2^2}_{\bar u_2^2}+\rho g\underbrace {{z_2}}_0+\underbrace {\Delta p}_{Reibung}$

Der Druckverlust entsteht während der Strömung durch Reibung. Der Term $\Delta p$ muss also immer stromabwärts addiert werden.

$\Delta p = \frac{\rho } {2}{{\bar u}^2}\frac{L} {d}\lambda ,\quad \quad \lambda = \frac{{1500}} {{\operatorname{Re} }}$

Einsetzen:

$\rho gH = \frac{\rho } {2}{{\bar u}^2}+\frac{\rho } {2}\bar u_2^2\frac{L} {d}\frac{{1500\nu }} {{{{\bar u}_2}d}}\quad \Rightarrow \quad 0 = \bar u_2^2+{{\bar u}_2}\underbrace {\frac{L} {{{d^2}}}\nu 1500}_p\underbrace {-2gH}_q$

Wir nutzen die pq-Formel zur Lösung der quadratischen Gleichung:

${{\bar u}_2} = -\frac{p} {2} \pm \sqrt {\frac{{{p^2}}} {4}-q}$

${{\bar u}_2} = -\frac{{\frac{L} {{{d^2}}}1500}} {2}\nu \pm \sqrt {\frac{{{{\left( {\frac{L} {{{d^2}}}\nu 1500} \right)}^2}}} {4}+2gH}$

${{\bar u}_2} = -\frac{{4m}} {{0,01{m^2}}}\frac{{1500}} {2}1,5 \cdot {10^{-6}}\frac{{{m^2}}} {s} \pm \sqrt {\frac{{{{\left( {\frac{{4m}} {{0,01{m^2}}}1,5 \cdot {{10}^{-6}}\frac{{{m^2}}} {s}1500} \right)}^2}}} {4}+2 \cdot 9,81\frac{m} {{{s^2}}}3m}$

${{\bar u}_2} = -\frac{4} {{0,01}}\frac{{1500}} {2}1,5 \cdot {10^{-6}}\frac{m} {s} \pm \sqrt {\frac{{{{\left( {\frac{4} {{0,01}}1,5 \cdot {{10}^{-6}}1500} \right)}^2}}} {4}+2 \cdot 9,81 \cdot 3} \frac{m} {s}$

${{\bar u}_2} = 7,235\frac{m} {s}$

(Laut Übungsleiter: ${{\bar u}_2} = 7,45\frac{m}{s}$ )

b )

Wir stellen die Bernoulligleichung von Position 1 nach Position 2 auf:

$\underbrace {{p_1}}_{1,05{p_a}}+\frac{\rho } {2}\underbrace {u_1^2}_{\bar u_2^{*2}}+\rho g\underbrace {{z_1}}_0 = \underbrace {{p_2}}_{{p_a}}+\frac{\rho } {2}\underbrace {u_2^2}_{\bar u_2^{*2}}+\rho g\underbrace {{z_2}}_0+\Delta p$