08.2 – Interfaceproblem

 

Betrachten Sie zwei beschränkte Gebiete \Omega_1 und \Omega_2, die sich ein gemeinsames Randstück S teilen. Weiter sei {\Gamma _i} = \partial {\Omega _i}{{\backslash }}S.

Betrachten Sie das Problem

\begin{array}{*{20}{c}}    {-{a_1}\Delta {u_1} = {f_1}} & {in\quad {\Omega _1}}  \\    {{u_1} = 0} & {auf\quad {\Gamma _1}}  \\    {-{a_2}\Delta {u_2} = {f_2}} & {in\quad {\Omega _2}}  \\    {{u_2} = 0} & {auf\quad {\Gamma _2}}  \\   \end{array}

mit

\begin{array}{*{20}{c}}    {{u_1} = {u_2}} & {auf\quad S}  \\    {{a_1}\frac{{\partial {u_1}}} {{\partial n}} = {a_2}\frac{{\partial {u_2}}} {{\partial n}}} & {auf\quad S}  \\   \end{array}

Wobei {f_i} \in {L^2}\left( {{\Omega _i}} \right),{a_i} > 0 Konstanten und n ein Einheitsnormalenvektor ist.

  1. Geben Sie eine physikalische Interpretation dieser Gleichungen an!
  2. Leiten Sie eine Variationsformulierung des Problems her.

Lösung

a )

Physikalische Vorstellung: statische Wärmeleitung, zwei Materialien (Eis, Wasser, …)

b )

\int\limits_\Omega  {{a_1}\Delta {u_1}{v_1}d\omega }  = \int\limits_\Omega  {{a_1}\nabla {u_1}\nabla {v_1}d\omega } -\int\limits_{\partial {\Omega _1}} {{a_1}\frac{{\partial {u_1}}} {{\partial n}}{v_1}ds}

= \int\limits_\Omega  {{a_1}\nabla {u_1}\nabla {v_1}d\omega } -\underbrace {\int\limits_{{\Gamma _1}} {{a_1}\frac{{\partial {u_1}}} {{\partial n}}vds} }_{ = 0 \leftarrow {{\left. v \right|}_{{\Gamma _1}}} = 0}-\int\limits_S {\underbrace {{a_1}\frac{{\partial {u_1}}} {{\partial n}}}_{ = {a_2}\frac{{\partial {u_2}}} {{\partial n}}}vds}

Also:

\int\limits_{{\Omega _1}} {{a_1}\nabla {u_1}\nabla {v_1}d\omega } -\int\limits_S {{a_2}\frac{{\partial {u_2}}} {{\partial n}}{v_1}ds}  = \int\limits_{{\Omega _1}} {{f_1}{v_1}d\omega }

und analog:

\int\limits_{{\Omega _2}} {{a_2}\nabla {u_2}\nabla {v_2}d\omega } -\int\limits_S {{a_2}\frac{{\partial {u_2}}} {{\partial n}}{v_2}ds}  = \int\limits_{{\Omega _2}} {{f_2}{v_2}d\omega }

Addiere diese beiden Gleichungen:

\int\limits_{{\Omega _1}} {{a_1}\nabla {u_1}\nabla {v_1}d\omega } +\int\limits_{{\Omega _2}} {{a_2}\nabla {u_2}\nabla {v_2}d\omega } -\int\limits_S {{a_2}\frac{{\partial {u_2}}} {{\partial n}}\left( {{v_1}-{v_2}} \right)ds}  = \int\limits_{{\Omega _1}} {{f_1}{v_1}d\omega } +\int\limits_{{\Omega _2}} {{f_2}{v_2}d\omega }

Um die Gleichung weiter zu vereinfachen, definieren wir:

a: = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    {{a_1}} & {{\Omega _1}}  \\    {{a_2}} & {{\Omega _2}}  \\   \end{array} } \right.,\quad u\left( x \right): = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    {{u_1}\left( x \right)} & {{\Omega _1}}  \\    {{u_2}\left( x \right)} & {{\Omega _2}}  \\   \end{array} } \right.

mit

u \in U = \left\{ {{u_1} \in {H^1}\left( {{\Omega _1}} \right),{u_2} \in {H^1}\left( {{\Omega _2}} \right),{u_1} = {u_S}\quad auf\quad S,{{\left. u \right|}_{\partial \Omega }} = 0} \right\} = H_0^1\left( \Omega  \right)

Teste auch mit einer Funktion

v \in H_0^1\left( \Omega  \right)

Dann ist {v_1}-{v_2} = 0 auf S.

\int\limits_\Omega  {a\nabla u\nabla vd\omega }  = \int\limits_\Omega  {fvd\omega } \quad \forall v \in H_0^1\left( \Omega  \right)

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