08.2 – Interfaceproblem

Betrachten Sie zwei beschränkte Gebiete $\Omega_1$ und $\Omega_2$ , die sich ein gemeinsames Randstück teilen. Weiter sei ${\Gamma _i} = \partial {\Omega _i}{{\backslash }}S$ .

Betrachten Sie das Problem

$\begin{array}{*{20}{c}} {-{a_1}\Delta {u_1} = {f_1}} & {in\quad {\Omega _1}} \\ {{u_1} = 0} & {auf\quad {\Gamma _1}} \\ {-{a_2}\Delta {u_2} = {f_2}} & {in\quad {\Omega _2}} \\ {{u_2} = 0} & {auf\quad {\Gamma _2}} \\ \end{array}$

mit

$\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1} = {u_2}} & {auf\quad S} \\ {{a_1}\frac{{\partial {u_1}}} {{\partial n}} = {a_2}\frac{{\partial {u_2}}} {{\partial n}}} & {auf\quad S} \\ \end{array}$

Wobei ${f_i} \in {L^2}\left( {{\Omega _i}} \right),{a_i} > 0$ Konstanten und ein Einheitsnormalenvektor ist.

Geben Sie eine physikalische Interpretation dieser Gleichungen an!
Leiten Sie eine Variationsformulierung des Problems her.

Lösung

a )

Physikalische Vorstellung: statische Wärmeleitung, zwei Materialien (Eis, Wasser, …)

b )

$\int\limits_\Omega {{a_1}\Delta {u_1}{v_1}d\omega } = \int\limits_\Omega {{a_1}\nabla {u_1}\nabla {v_1}d\omega } -\int\limits_{\partial {\Omega _1}} {{a_1}\frac{{\partial {u_1}}} {{\partial n}}{v_1}ds}$

$= \int\limits_\Omega {{a_1}\nabla {u_1}\nabla {v_1}d\omega } -\underbrace {\int\limits_{{\Gamma _1}} {{a_1}\frac{{\partial {u_1}}} {{\partial n}}vds} }_{ = 0 \leftarrow {{\left. v \right|}_{{\Gamma _1}}} = 0}-\int\limits_S {\underbrace {{a_1}\frac{{\partial {u_1}}} {{\partial n}}}_{ = {a_2}\frac{{\partial {u_2}}} {{\partial n}}}vds}$

Also:

$\int\limits_{{\Omega _1}} {{a_1}\nabla {u_1}\nabla {v_1}d\omega } -\int\limits_S {{a_2}\frac{{\partial {u_2}}} {{\partial n}}{v_1}ds} = \int\limits_{{\Omega _1}} {{f_1}{v_1}d\omega }$

und analog:

$\int\limits_{{\Omega _2}} {{a_2}\nabla {u_2}\nabla {v_2}d\omega } -\int\limits_S {{a_2}\frac{{\partial {u_2}}} {{\partial n}}{v_2}ds} = \int\limits_{{\Omega _2}} {{f_2}{v_2}d\omega }$

Addiere diese beiden Gleichungen:

$\int\limits_{{\Omega _1}} {{a_1}\nabla {u_1}\nabla {v_1}d\omega } +\int\limits_{{\Omega _2}} {{a_2}\nabla {u_2}\nabla {v_2}d\omega } -\int\limits_S {{a_2}\frac{{\partial {u_2}}} {{\partial n}}\left( {{v_1}-{v_2}} \right)ds} = \int\limits_{{\Omega _1}} {{f_1}{v_1}d\omega } +\int\limits_{{\Omega _2}} {{f_2}{v_2}d\omega }$

Um die Gleichung weiter zu vereinfachen, definieren wir:

$a: = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_1}} & {{\Omega _1}} \\ {{a_2}} & {{\Omega _2}} \\ \end{array} } \right.,\quad u\left( x \right): = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{u_1}\left( x \right)} & {{\Omega _1}} \\ {{u_2}\left( x \right)} & {{\Omega _2}} \\ \end{array} } \right.$

mit

$u \in U = \left\{ {{u_1} \in {H^1}\left( {{\Omega _1}} \right),{u_2} \in {H^1}\left( {{\Omega _2}} \right),{u_1} = {u_S}\quad auf\quad S,{{\left. u \right|}_{\partial \Omega }} = 0} \right\} = H_0^1\left( \Omega \right)$