08.3 – Luftströmung an dünner Platte

 

Luft strömt mit der Geschwindigkeit u_\infty über eine dünne Platte. Die Strömung ist eben, inkompressibel und reibungsbehaftet. Auf der Platte bildet sich im vorderen Bereich eine laminare Grenzschicht und stromabwärts, nach dem Überschreiten der kritischen Reynolds-Zahl {\operatorname{Re} _{krit}}, eine turbulente Grenzschicht aus.

Luftströmung an dünner Platte Aufgabe

  1. Skizzieren Sie den Verlauf der Grenzschichtdicke \delta auf der Plattenoberseite.
  2. Skizzieren Sie die Geschwindigkeitsprofile u\left(z\right) auf der Oberseite der Platte an den Stellen x_1 und x_2 und begründen Sie Ihre Skizze.
  3. Skizzieren Sie das Geschwindigkeitsprofil und die Bereichseinteilung des Geschwindigkeitsprofils an der
    Stelle x_3.
  4. Schätzen Sie die Dicke \Delta der viskosen Unterschicht bei x_3 ab, wenn das Geschwindigkeitsprofil in der viskosen Unterschicht linear vom Wert Null auf den Wert 0,5 u_\infty ansteigt und für den lokalen Reibungsbeiwert auf der Platte bei turbulenter Strömung gilt: {c_f} = \frac{{0,0577}} {{\sqrt[5]{{\operatorname{Re} }}}}

Gegeben:

{u_\infty } = 10\frac{m} {s},\quad {\nu _{Luft}} = 1,511 \cdot {10^{-5}}\frac{{{m^2}}} {s},\quad L = 2m

{x_1} = 0,05L,\quad {x_2} = 0,75L,\quad {x_3} = L

Lösung

a )

\operatorname{Re} = \frac{{UD}} {\nu }

{\operatorname{Re} _{krit}} = 5 \cdot {10^5}

{\operatorname{Re} _1} = \frac{{{u_\infty }{x_1}}} {\nu } = 6,62 \cdot {10^4}\quad \Rightarrow \quad laminar

{\operatorname{Re} _2} = 9,93 \cdot {10^5}\quad \Rightarrow \quad turbulent

{\operatorname{Re} _3} = 1,32 \cdot {10^6}\quad \Rightarrow \quad turbulent

Aus der kritischen Reynolds-Zahl berechnen wir ein kritisches x:

{x_{krit}} = \frac{{{{\operatorname{Re} }_{krit}}\nu }} {{{u_\infty }}} = 0,38L

b, c )

d )

{c_f}: = \frac{{{\tau _\omega }}} {{\frac{\rho } {2}u_\infty ^2}}

mit der Wandschubspannung {{\tau _\omega }}. Laut Aufgabenstellung ist:

{c_f} = \frac{{0,0577}} {{\sqrt[5]{{\operatorname{Re} }}}}

Für die Wandschubspannung folgt:

{\tau _\omega }: = \mu \frac{{\partial u}} {{\partial z}} = \nu \rho \frac{{0,5{u_\infty }}} {\Delta },\quad \Delta = \frac{{\nu \cdot \rho \cdot 0,5 \cdot {u_\infty } \cdot \sqrt[5]{{\operatorname{Re} }}}} {{\rho \cdot 0,5 \cdot u_\infty ^2 \cdot 0,0577}}

= \frac{{\nu \sqrt[5]{{\operatorname{Re} }}}} {{{u_\infty } \cdot 0,0577}} = 0,44mm