09 – Dämpfung 04 – Erzwungene Schwingung bei schwacher Dämpfung

 

Da nun eine Erregerkraft wirkt, ist die Differentialgleichung nicht mehr harmonisch, sondern hat eine zeitabhängige Kraftfunktion auf der rechten Seite. Wir betrachten hier die harmonische Anregung, die Kraft entspricht also einer trigonometrischen Funktion (in diesem Fall cos). Dabei ist F-Dach die maximal wirkende Kraft, also die Amplitude. Ω ist die Kreisfrequenz des Erregers, welche nicht mit der Eigenkreisfrequenz des Schwingenden Systems zu verwechseln ist.
Die Differentialgleichung lautet also

\ddot x+2\delta \dot x+\omega _1^2 x = \frac{{\hat F}} {m}\cos \Omega t

Da auf der rechten Seite ein Cosinus steht, können wir für die partikuläre Lösung einen Ansatz vom “Typ der rechten Seite” wählen:

x_p  = A\cos \Omega t+B\sin \Omega t

Ableitungen:

x_p  = A\cos \Omega t+B\sin \Omega t

\dot x_p  = -A\Omega \sin \Omega t+B\Omega \cos \Omega t

\ddot x_p  = -A\Omega ^2 \cos \Omega t-B\Omega ^2 \sin \Omega t

Einsetzen in die Differentialgleichung:

-A\Omega ^2 \cos \Omega t-B\Omega ^2 \sin \Omega t-2\delta A\Omega \sin \Omega t+2\delta B\Omega \cos \Omega t

+\omega _1^2 A\cos \Omega t+\omega _1^2 B\sin \Omega t = \frac{{\hat F}} {m}\cos \Omega t

Ausklammern von sin und cos:

\Rightarrow \sin \Omega t\left[ {-B\Omega ^2 -2\delta A\Omega +\omega _1^2 B} \right]+\cos \Omega t\left[ {-A\Omega ^2 +2\delta B\Omega +\omega _1^2 A} \right]

= \frac{{\hat F}} {m}\cos \Omega t

Auf der rechten Seite steht ein cos-Term. Das bedeutet, dass die sin-Klammer auf der linken Seite gleich 0 sein muss, die cos-Klammer gleich F/m. Wir führen den Koeffizientenvergleich durch:

-B\Omega ^2 -2\delta A\Omega +\omega _1^2 B = 0

-A\Omega ^2 +2\delta B\Omega +\omega _1^2 A = \frac{{\hat F}} {m}

Nun stellen wir die erste Gleichung nach B um und setzen in die zweite ein:

B\left( {\omega _1^2 -\Omega ^2 } \right) = 2\delta \Omega A\quad \quad  \Rightarrow \quad \quad B = \frac{{2\delta \Omega A}} {{\omega _1^2 -\Omega ^2 }}

-A\Omega ^2 +A\frac{{\left( {2\delta \Omega } \right)^2 }} {{\omega _1^2 -\Omega ^2 }}+\omega _1^2 A = \frac{{\hat F}} {m}\quad \quad  \Rightarrow \quad A = \frac{{\frac{{\hat F}} {m}}} {{\omega _1^2 -\Omega ^2 +\frac{{\left( {2\delta \Omega } \right)^2 }} {{\omega _1^2 -\Omega ^2 }}}}

Dies setzen wir wiederum in die umgestellte erste Gleichung ein, um B zu bestimmen:

B = \frac{{2\delta \Omega A}} {{\omega _1^2 -\Omega ^2 }} = \frac{{2\delta \Omega \frac{{\frac{{\hat F}} {m}}} {{\omega _1^2 -\Omega ^2 +\frac{{\left( {2\delta \Omega } \right)^2 }} {{\omega _1^2 -\Omega ^2 }}}}}} {{\omega _1^2 -\Omega ^2 }} = \frac{{\frac{{\hat F}} {m}}} {{\left( {\omega _1^2 -\Omega ^2 } \right)^2 +2\delta \Omega }}

Wenn wir die beiden Koeffizienten nun in die Ansatzgleichung

x_p  = A\cos \Omega t+B\sin \Omega t

einsetzen, erhalten wir

x_p  = \frac{{\frac{{\hat F}} {m}}} {{\omega _1^2 -\Omega ^2 +\frac{{\left( {2\delta \Omega } \right)^2 }} {{\omega _1^2 -\Omega ^2 }}}}\cos \Omega t+\frac{{\frac{{\hat F}} {m}}} {{\left( {\omega _1^2 -\Omega ^2 } \right)^2 +2\delta \Omega }}\sin \Omega t

Dies können wir noch erweitern und ausklammern:

x_p  = \frac{{\frac{{\hat F}} {m}\left( {\omega _1^2 -\Omega ^2 } \right)}} {{\left( {\omega _1^2 -\Omega ^2 } \right)^2 +\left( {2\delta \Omega } \right)^2 }}\cos \Omega t+\frac{{\frac{{\hat F}} {m}\left( {2\delta \Omega } \right)}} {{\left( {\omega _1^2 -\Omega ^2 } \right)^2 +\left( {2\delta \Omega } \right)^2 }}\sin \Omega t

x_p  = \frac{{\frac{{\hat F}} {m}}} {{\left( {\omega _1^2 -\Omega ^2 } \right)^2 +\left( {2\delta \Omega } \right)^2 }}\left[ {\left( {\omega _1^2 -\Omega ^2 } \right)\cos \Omega t+2\delta \Omega \sin \Omega t} \right]

Hier führen wir der Übersichtlichkeit halber drei neue Konstanten ein:

K = \frac{{\frac{{\hat F}} {m}}} {{\left( {\omega _1^2 -\Omega ^2 } \right)^2 +\left( {2\delta \Omega } \right)^2 }}

D = \omega _1^2 -\Omega ^2

E = 2\delta \Omega

So erhalten wir:

x_p  = K\left[ {D\cos \Omega t+E\sin \Omega t} \right]