08 – Dämpfung 03 – Freie Schwingung bei schwacher Dämpfung

Im letzten Artikel wurde der Unterschied zwischen der verschiedenen Arten der Dämpfung beschrieben. In diesem Artikel wird die schwache Dämpfung vertieft. Zunächst betrachten wir ein frei schwingendes (nicht angeregtes) gedämpftes System.

Die Bewegungsgleichung der schwingenden Masse lässt sich wie folgt anschaulich herleiten:

Für

$\vartheta = \frac{\delta } {{\omega _1 }} < 1$

gilt

$\frac{{\delta ^2 }} {{\omega _1^2 }} < 1\quad \quad \Rightarrow \quad \quad \delta ^2 < \omega _1^2 \quad \quad \Rightarrow \quad \quad \delta ^2 -\omega _1^2 < 0$

Es muss also eine negative Wurzel berechnet werden und die Eigenwerte werden konjugiert komplex:

$\lambda _{1,2} = -\delta \pm \sqrt {\delta ^2 -\omega _1^2 } = -\delta \pm \sqrt {\left( {\omega _1^2 -\delta ^2 } \right)\left( {-1} \right)} = -\delta \pm i\sqrt {\omega _1^2 -\delta ^2 }$

Wir führen die Größe der Eigenkreisfrequenz des gedämpften Systems ein und setzen

$\omega _d = \sqrt {\omega _1^2 -\delta ^2 } = \omega _1 \sqrt {\frac{{\omega _1^2 -\delta ^2 }} {{\omega _1^2 }}} = \omega _1 \sqrt {1-\left( {\frac{\delta } {{\omega _1 }}} \right)^2 } = \omega _1 \sqrt {1-\vartheta ^2 }$

Offenbar unterscheiden sich die Eigenkreisfrequenz des ungedämpften und des gedämpften Systems bei sehr geringer Dämpfung kaum.

Wir setzen nun in den Ansatz

$x = Be^{\lambda t}$

ein und überlagern die beiden speziellen Lösungen durch Addition zur allgemeinen Lösung:

$x\left( t \right) = B_1 e^{\lambda _1 t} +B_2 e^{\lambda _2 t}$

$x\left( t \right) = B_1 e^{\left( {-\delta +i\sqrt {\omega _1^2 -\delta ^2 } } \right)t} +B_2 e^{\left( {-\delta -i\sqrt {\omega _1^2 -\delta ^2 } } \right)t}$

Unter Verwendung der Eigenkreisfrequenz des gedämpften Systems:

$x\left( t \right) = B_1 e^{\left( {-\delta +i\omega _d } \right)t} +B_2 e^{\left( {-\delta -i\omega _d } \right)t} = B_1 e^{-\delta t} e^{i\omega _d t} +B_2 e^{-\delta t} e^{-i\omega _d t}$

$= e^{-\delta t} \left( {B_1 e^{i\omega _d t} +B_2 e^{-i\omega _d t} } \right)$

Wir formen mit den Eulerformeln um:

$x\left( t \right) = e^{-\delta t} \left( {B_1 \left[ {\cos \left( {\omega _d t} \right)+i\sin \left( {\omega _d t} \right)} \right]+B_2 \left[ {\cos \left( {\omega _d t} \right)-i\sin \left( {\omega _d t} \right)} \right]} \right)$

$x\left( t \right) = e^{-\delta t} \left[ {\left( {B_1 +B_2 } \right)\cos \left( {\omega _d t} \right)+\left( {B_1 -B_2 } \right)i\sin \left( {\omega _d t} \right)} \right]$

Nun setzen wir für die zwei realen Konstanten E₁ und E₂:

$B_1 = E_1 +iE_2 ,\quad \quad B_2 = E_1 -iE_2$

und erhalten durch Einsetzen

$x\left( t \right) = e^{-\delta t} \left[ {\left( {E_1 +iE_2 +E_1 -iE_2 } \right)\cos \left( {\omega _d t} \right)+\left( {E_1 +iE_2 -E_1 +iE_2 } \right)i\sin \left( {\omega _d t} \right)} \right]$

$x\left( t \right) = e^{-\delta t} \left[ {2E_1 \cos \left( {\omega _d t} \right)+2E_2 ii\sin \left( {\omega _d t} \right)} \right]$

$= e^{-\delta t} \left[ {2E_1 \cos \left( {\omega _d t} \right)-2E_2 \sin \left( {\omega _d t} \right)} \right]$

Als letzten Schritt ersetzen wir die Konstanten E durch die Konstanten C, wobei wir definieren:

$C_1 = 2E_1 ,\quad \quad C_2 = -2E_2$

einsetzen:

$x\left( t \right) = e^{-\delta t} \left[ {C_1 \cos \left( {\omega _d t} \right)+C_2 \sin \left( {\omega _d t} \right)} \right]$

Wir haben nun die Bewegungsfunktion der Masse hergeleitet. Der Ausdruck in der eckigen Klammer beschreibt eine harmonische Schwingung. Die Amplitude der Schwingung wird durch die e-Funktion vor der Klammer immer kleiner.

Die Bewegungsfunktion kann alternativ mit der Amplitude A und dem Nullphasenwinkel φ₀ darstellen:

$x\left( t \right) = Ae^{-\delta t} \sin \left( {\omega _d t+\phi _0 } \right)$

Die Funktion

$\pm Ae^{-\delta t}$

ist für jeden beliebigen Nullphasenwinkel die Einhüllende. Die Schwingung ist zwar nicht periodisch, hat aber Nullstellen, Maxima und Minima in äquidistanten Abständen auf der Zeitachse, man spricht von einer quasiperiodischen oder quasiharmonischen Schwingung mit

$T_d = \frac{{2\pi }} {{\omega _d }}$

als Quasi-Periodendauer

Anfangsbedingungen

Die Integrationskonstanten C₁ und C₂ müssen mit Hilfe von Anfangsbedingungen bestimmt werden. Im Allgemeinen gilt:

$x\left( 0 \right) = x_0 ,\quad \quad \dot x\left( 0 \right) = v_0$

Wir setzen die Bewegungsgleichung gleich 0:

$x\left( 0 \right) = e^{0 \cdot \left( {-\delta } \right)} \left[ {C_1 \cos \left( {0 \cdot \omega _d } \right)+C_2 \sin \left( {0 \cdot \omega _d } \right)} \right] = x_0$

$\Rightarrow 1 \cdot \left( {C_1 \cdot 1+C_2 \cdot 0} \right) = x_0 = C_1$

Für die andere Integrationskonstante brauchen wir die Ableitung der Bewegungsgleichung:

$\dot x\left( t \right) = -\delta e^{-\delta t} \left[ {C_1 \cos \left( {\omega _d t} \right)+C_2 \sin \left( {\omega _d t} \right)} \right]$

$+e^{-\delta t} \left[ {-C_1 \omega _d \sin \left( {\omega _d t} \right)+C_2 \omega _d \cos \left( {\omega _d t} \right)} \right]$

$\dot x\left( 0 \right) =-\delta e^{-\delta \cdot 0} \left[ {C_1 \cos \left( {\omega _d \cdot 0} \right)+C_2 \sin \left( {\omega _d \cdot 0} \right)} \right]$

$+e^{-\delta \cdot 0} \left[ {\omega _d \left\{ {-C_1 \sin \left( {\omega _d \cdot 0} \right)+C_2 \cos \left( {\omega _d \cdot 0} \right)} \right\}} \right] = v_0$

$-\delta \left[ {C_1 } \right]+\left[ {\omega _d \left\{ {C_2 } \right\}} \right] = v_0 \quad \quad \Rightarrow \quad \quad -\delta C_1 +\omega _d C_2 = v_0 \quad \quad \Rightarrow \quad \quad C_2$

$= \frac{{v_0 +\delta x_0 }} {{\omega _d }}$

Eingesetzt in die Bewegungsfunktion:

$x\left( t \right) = e^{-\delta t} \left[ {C_1 \cos \left( {\omega _d t} \right)+C_2 \sin \left( {\omega _d t} \right)} \right]$

$= e^{-\delta t} \left[ {x_0 \cos \left( {\omega _d t} \right)+\frac{{v_0 +\delta x_0 }} {{\omega _d }}\sin \left( {\omega _d t} \right)} \right]$

Man kann die Integrationskonstanten auch für die alternative Bewegungsgleichung (mit dem Nullphasenwinkel) herleiten. Man erhält dann:

$A = \sqrt {C_1^2 +C_2^2 }$

$\tan \phi _0 = \frac{{C_1 }} {{C_2 }}$

Das logarithmische Dekrement

Das Abklingverhalten gedämpfter Schwingungen lässt sich durch die Abnahme der Amplitude innerhalb der Quasiperiodendauer T_d beschreiben.
Mit der Nullphasendarstellung der Bewegungsgleichung gilt zu einem beliebigen Zeitpunkt

$x \left( t \right) = A e^{-\delta t } \sin \left( \omega_d t+\varphi_0s \right)$

und eine volle Schwingung später

$x \left( t+T_d \right) = A e^{-\delta \left( t+T_d \right) } \sin \left( \omega_d \left( t+T_d \right)+\varphi_0s \right)$

Mit

$T_d = \frac {2 \pi }{\omega_d}$

wird daraus

$x\left( {t+T_d } \right) = Ae^{-\delta \left( {t+\frac{{2\pi }} {{\omega _d }}} \right)} \sin \left( {\omega _d \left( {t+\frac{{2\pi }} {{\omega _d }}} \right)+\phi _0 s} \right)$

$= Ae^{-\delta t} e^{-\delta T_d } \sin \left( {\omega _d t+2\pi +\phi _0 s} \right)$

$x\left( {t+T_d } \right) = e^{-\delta T_d } Ae^{-\delta t} \sin \left( {\omega _d t+\phi _0 s} \right) = e^{-\delta T_d } x\left( t \right)$

Umstellen:

$x\left( {t+T_d } \right) = e^{-\delta T_d } x\left( t \right)\quad \quad \Rightarrow \quad \quad e^{-\delta T_d } = \frac{{x\left( {t+T_d } \right)}} {{x\left( t \right)}}\quad \quad \Rightarrow \quad \quad -\delta T_d$

$= \ln \frac{{x\left( {t+T_d } \right)}} {{x\left( t \right)}}$

Vorzeichentausch kehrt auch den Bruch im Logarithmus um:

$\Rightarrow \quad \quad \delta T_d = \ln \frac{{x\left( t \right)}} {{x\left( {t+T_d } \right)}}$

Wir definieren nun das logarithmische Dekrement:

$\Lambda = \ln \frac{{x\left( t \right)}} {{x\left( {t+T_d } \right)}}\quad \quad \Rightarrow \quad \quad \Lambda = \delta T_d$

Alternative Möglichkeit zur Berechnung:

$\Lambda = \ln \frac{{x\left( {t_i } \right)}} {{x\left( {t_{i+1} } \right)}} = \frac{1} {n}\,\ln \frac{{x\left( {t_i } \right)}} {{x\left( {t_{i+n} } \right)}}{\text{ mit }}n \in \mathbb{N}$

Mit dieser Beziehung kann die Systemkonstante δ aus der aufgezeichneten Bewegungskurve des Schwingvorganges erschlossen werden. Sie gilt für beliebige Auslenkungen im zeitlichen Abstand T_d, wird aber meistens auf die Maxima oder Minima angewendet.

Mit dem Dämpfungswinkel θ ausgedrückt:

$\Lambda = -\delta T_d = -\delta \frac{{2\pi }} {{\omega _d }} = -\omega _1 \sin \vartheta \frac{{2\pi }} {{\omega _1 \cos \vartheta }} = 2\pi \tan \vartheta$