08 – Potenzreihen, Konvergenzradien und gleichmäßige Stetigkeit

I. Sei (b_n)_n eine konvergente Folge reeller Zahlen. Zeigen Sie:

$ \lim \limits_{n \to \infty } \sup \left\{ {b_n ,b_{n+1} ,b_{n+2} ,\ldots} \right\} = \lim \limits_{n \to \infty } b_n $

II. Bestimmen Sie die Konvergenzradien der folgenden Potenzreihen:

a ) $ \quad \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1} {n} \cdot x^n } $

b ) $ \quad \sum\limits_{n = 0}^\infty {n \cdot x^n } $

c ) $ \quad \sum\limits_{n = 0}^\infty {2^n \cdot x^n } $

d ) $ \quad \sum\limits_{n = 0}^\infty {n^n \cdot x^n } $

e ) $ \quad \sum\limits_{n = 0}^\infty {n! \cdot x^n } $

Lösung

Für diese Aufgabe sollen an dieser Stelle zunächst einmal ausführlich die notwendigen Grundlagen wiederholt werden. Werden diese bereits beherrscht, kann dieser Abschnitt übersprungen werden.

Konvergenz von Funktionenfolgen

Punktweise Konvergenz:
Eine Folge f_n(x) von Funktionen konvergiert punktweise gegen die Grenzfunktion f(x), wenn für jeden Punkt x des Definitionsbereiches der folgende Grenzwert existiert:

$ f\left( x \right) = \lim \limits_{n \to \infty } f_n \left( x \right) $

Beispiel:
Gegeben ist die Funktionenfolge

$ f:\left[ {0,1} \right] \to \mathbb{R},\quad \quad \quad f_n \left( x \right) = x^n $

Hier ein paar Funktionen aus der Folge:

Lila: $ f_1 \left( x \right) = x^1 $

Pink: $ f_2 \left( x \right) = x^2 $

Gelb: $ f_4 \left( x \right) = x^4 $

Grün: $ f_9 \left( x \right) = x^9 $

Blau: $ f_{16} \left( x \right) = x^{16} $

Die Funktionen konvergieren punktweise gegen die Grenzfunktion

Gleichmäßige Konvergenz
Eine Funktionenfolge (f_n)n ist gleichmäßig konvergent gegen eine Funktion f, wenn die maximalen Unterschiede zwischen f_n und f gegen null konvergieren.

Mathematisch ausgedrückt:
Eine Funktionenfolge (f_n)n ist gleichmäßig konvergent gegen eine Funktion f, wenn gilt:
$ \forall \varepsilon > 0\quad \exists n_0 :\left| {f_n \left( x \right)-f\left( x \right)} \right| < \varepsilon \quad \forall n \geq n_0 $

Der wichtige Unterschied zu der punktweisen Konvergenz liegt hier in dem "für alle n größer oder gleich n₀“. Wir betrachten noch einmal das schon bei der punktweisen Konvergenz besprochene Beispiel.
Es gibt hier kein n₀, bei dem alle Funktionswerte nah an der Grenzfunktion sind. Selbst bei einem sehr großen n gibt es kurz vor der 1 noch Funktionswerte, die beliebig nah an der 1 dran sind:

Konvergenz von Potenzreihen

Potenzreihen konvergieren nicht auf dem gesamten Definitionsbereich gegen eine Funktion, sondern nur auf einem bestimmten Intervall, das man berechnen kann.

Beispiel:

$ \sum\limits_{k = 0}^\infty {c_k } x^k $

Wir wollen hier den Fall c_k = 1 betrachten.
In die folgende Abbildung wurden die ersten Funktionen der Reihe eingezeichnet:

Lila: $ f_1 \left( x \right) = 1 $

Pink: $ f_2 \left( x \right) = 1+x $

Gelb: $ f_3 \left( x \right) = 1+x+x^2 $

Grün: $ f_4 \left( x \right) = 1+x+x^2 +x^3 $

Blau: $ f_5 \left( x \right) = 1+x+x^2 +x^3 +x^4 $

Bei x < -1 divergieren die Funktionen.
Bei x > 1 gehen die Funktionen unterschiedlich schnell gegen unendlich.
Nur zwischen x = -1 und x = 1 konvergieren die Funktionen, und zwar gegen die Funktion

$ f_g \left( x \right) = \frac{1} {{1-x}} $

Dies ist das einzige Intervall, auf dem die Funktionen konvergieren, denn wenn die Konvergenz erst einmal aufgehört hat, fängt sie nirgendwo wieder an.

Es gilt also:

$ \sum\limits_{k = 0}^\infty {x^k } = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \infty & x \geq 1 \\ \frac{1} {{1-x}} & -1 < x < 1 \\ {\text{div}} & x \leq -1 \\ \end{array} } \right. $

Der Konvergenzradius ist hier 1, da die Potenzreihe auf einem Intervall mit dem Radius 1 (von der 0 aus) konvergiert.

Ein weiteres Beispiel:

$ \sum\limits_{k = 0}^\infty {\frac{1} {{2k}}x^k } $

Der Graph mit den ersten paar Funktionen:

Der Konvergenzradius ist hier 2, da die Potenzreihe von -2 bis 2 konvergiert.

Limes Superior

Limes superior und Limes inferior einer Folge bezeichnen den größten bzw. kleinsten Grenzwert konvergenter Teilfolgen der Folge. Limes superior und Limes inferior sind ein partieller Ersatz für den Grenzwert, falls dieser nicht existiert.

Definition des Limes superior:

$ \inf \limits_{n \geq 0} \inf \limits_{k \geq n} x_k = \inf \left\{ {\sup \left\{ {x_k :k \geq n} \right\}:n \geq 0} \right\} $

Beispiel:

Man sucht nun auf einem Intervall fester Länge (in diesem Beispiel ist die Länge 2) das Supremum. Der Limes Superior ist nun der Wert des Supremums auf dem “unendlichsten” Intervall.

Nun kommen wir zu der Lösung der Aufgabe:

I

Eine Folge $ \left( {b_n } \right)_{n \in \mathbb{N}_0 } $ reeller Zahlen konvergiert genau dann gegen einen Grenzwert $ b = \lim \limits_{n \to \infty } b_n < \infty $ , wenn es zu jedem $ \varepsilon > 0 $ ein $ N \in \mathbb{N}_0 $ gibt, so dass $ \left| {b-b_n } \right| < \varepsilon $ für alle 
n > N gilt.
Wir betrachten die Hilfsfolge $ \left( {h_n } \right)_{n \in \mathbb{N}_0 } $ , die gegeben sei durch $ h_n = \sup\limits_{k \geq n} b_k = \sup \left\{ {b_n ,b_{n+1} ,b_{n+2} ,\ldots } \right\} $ .
Tatsächlich gilt dann
$ h_n = \max \left\{ {b_n ,b_{n+1} ,b_{n+2} ,\ldots} \right\} = \max \left\{ {b,\left( {b_k } \right)_{k \geq n} } \right\} $

Wegen

$ h_{n+1} = \sup\limits_{k \geq n+1} b_k = \sup \left\{ {b_{n+1} ,b_{n+2} ,\ldots} \right\} \leq \sup \left\{ {b_n ,b_{n+1} ,b_{n+2} ,\ldots} \right\} = \sup\limits_{k \geq n} b_k = h_n $

für alle $ n \in \mathbb{N}_0 $ , ist $ \left( {h_n } \right)_{n \in \mathbb{N}_0 } $ einerseits monoton fallend und andererseits wegen $ \sup\limits_{k \geq n} b_k \geq b $ für alle $ n \in \mathbb{N}_0 $ nach unten beschränkt.
Daraus folgt, dass $ \left( {h_n } \right)_{n \in \mathbb{N}_0 } $ konvergiert.

Wir müssen nun nur noch zeigen, dass

$ \lim \limits_{n \to \infty } h_n = b $

oder:

Für alle $ \varepsilon > 0 $ gibt es einen Index $ N \in \mathbb{N}_0 $ , so dass $ \left| {h_n -b} \right| < \varepsilon $ für alle $ n \geq N $ gilt.

Entweder gibt es zu einem festen $ n \in \mathbb{N}_0 $ ein $ b_{i_n } $ mit $ i_n \geq n $ , so dass gilt: $ h_n = b_{i_n } $ , oder aber es ist 
h_n = b

Daher gibt es zu jedem $ \varepsilon > 0 $ einen Index $ N* \in \mathbb{N}_0 $ , so dass für alle $ n \geq N* $ gilt:

$ \left| {h_n -b} \right| < \varepsilon $

q.e.d.

II

Die Formel von Chauchy-Hadamard zur Berechnung des Konvergenzradius ρ einer Potenzreihe

$ \sum\limits_{n = 0}^\infty {a_n \cdot x^n } $

lautet:

$ \rho = \frac{1} {{\lim \limits_{n \to \infty } \sup\limits_{k \geq n} \sqrt[k]{{a_k }}}} $

Wir werden im Folgenden den Grenzwert

$ \lim \limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{n} $

benötigen. Ein Graph der Funktion zeigt, dass es anscheinend eine Asymptote bei 1 gibt:

Dies müssen wir aber noch beweisen.

Beweis
Die hier nicht weiter ausgeführte Ungleichung zwischen dem arithmetischen und geometrischen Mittel besagt:
Für nichtnegative Zahlen

$ x_1 ,\ldots x_n \quad \left( {n \geq 1} \right) $

gilt:

$ \underbrace {\sqrt[n]{{x_1 \cdot x_2 \cdot \ldots \cdot x_n }}}_{{\text{geometrisches Mittel}}} \leq \underbrace {\frac{{x_1 +x_2 +\ldots +x_n }} {n}}_{{\text{arithmetisches Mittel}}} $

Dies nutzen wir, um eine obere Schranke für $ \sqrt[n]{n} $ zu finden:

$ \sqrt[n]{n} = \sqrt[n]{{\sqrt n \cdot \sqrt n \cdot \underbrace {1 \cdot \ldots \cdot 1}_{\left( {n-2} \right){\text{ Faktoren 1}}}}} \leq \frac{{\sqrt n +\sqrt n +\overbrace {1+\ldots +1}^{\left( {n-2} \right){\text{ Summanden 1}}}}} {n} = \frac{{2\sqrt n +n-2}} {n} $

$ = 1+\frac{2} {{\sqrt n }}-\frac{2} {n} < 1+\frac{2} {{\sqrt n }} $

Nun suchen wir noch eine untere Schranke:

$ 1 = 1^n \leq n\quad \forall n \in \mathbb{N} $

Wir nehmen die n-te Wurzel und erhalten:

$ 1 \leq \sqrt[n]{n} $

Folglich gilt:

$ 1 \leq \sqrt[n]{n} \leq 1+\frac{2} {{\sqrt n }} $

Geht nun n gegen unendlich, folgt daraus für den Grenzwert:

$ \lim \limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{n} = 1 $

Hiermit können wir die Aufgaben lösen:

a )

$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1} {n} \cdot x^n } $

$ \rho = \frac{1} {{\lim \limits_{n \to \infty } \sup\limits_{k \geq n} \sqrt[k]{{a_k }}}} $

Einsetzen:

$ \rho = \frac{1} {{\lim \limits_{n \to \infty } \sup\limits_{k \geq n} \sqrt[k]{{\frac{1} {k}}}}} = \frac{1} {{\lim \limits_{n \to \infty } \sup\limits_{k \geq n} \frac{1} {{\sqrt[k]{k}}}}} = \frac{1} {{\lim \limits_{n \to \infty } \frac{1} {{\sqrt[n]{n}}}}} = \frac{1} {{\frac{1} {1}}} = 1 $

Der Konvergenzradius ist also 1.

b )

$ \sum\limits_{n = 0}^\infty {n \cdot x^n } $

$ \rho = \frac{1} {{\lim \limits_{n \to \infty } \sup\limits_{k \geq n} \sqrt[k]{k}}} = \frac{1} {{\lim \limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{n}}} = \frac{1} {1} = 1 $

c )

$ \sum\limits_{n = 0}^\infty {2^n \cdot x^n } $

$ \rho = \frac{1} {{\lim \limits_{n \to \infty } \sup\limits_{k \geq n} \sqrt[k]{{2^k }}}} = \frac{1} {{\lim \limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{2^n }}}} = \frac{1} {2} $

d )

$ \sum\limits_{n = 0}^\infty {n^n \cdot x^n } $

$ \rho = \frac{1} {{\lim \limits_{n \to \infty } \sup\limits_{k \geq n} \sqrt[k]{{k^k }}}} = \frac{1} {{\lim \limits_{n \to \infty } \sqrt[n]{{n^n }}}} = \frac{1} {{\lim \limits_{n \to \infty } n}} = 0 $

e )

$ \sum\limits_{n = 0}^\infty {n! \cdot x^n } $

$ \rho = \frac{1} {{\lim \limits_{n \to \infty } \sup\limits_{k \geq n} \sqrt[k]{{k!}}}} $

Die Folge: k-te Wurzel aus k! ist unbeschränkt (auf den Beweis wird hier verzichtet). Daher gilt:

$ \rho = \frac{1} {{\lim \limits_{n \to \infty } \sup\limits_{k \geq n} \sqrt[k]{{k!}}}} = 0 $

Berechnung mit dem Quotientenkriterium

Dies ist die andere Variante, den Konvergenzradius zu berechnen. Sie ist einfacher, aber nicht immer möglich:

$ \rho = \frac{1} {{\lim \limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{a_{n+1} }} {{a_n }}} \right|}} $

a )

$ \sum\limits_{n = 1}^\infty {\frac{1} {n} \cdot x^n } $

$ \rho = \frac{1} {{\lim \limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{\frac{1} {{n+1}}}} {{\frac{1} {n}}}} \right|}} = \frac{1} {{\lim \limits_{n \to \infty } \left| {\frac{n} {{n+1}}} \right|}} = \frac{1} {{\lim \limits_{n \to \infty } \left| {\frac{n} {n}\frac{1} {{1+\frac{1} {n}}}} \right|}} = \frac{1} {1} = 1 $

b )

$ \sum\limits_{n = 0}^\infty {n \cdot x^n } $

$ \rho = \frac{1} {{\lim \limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{n+1}} {n}} \right|}} = \frac{1} {{\lim \limits_{n \to \infty } \left| {\frac{n} {n}\frac{{1+\frac{1} {n}}} {1}} \right|}} = \frac{1} {1} = 1 $

c )

$ \sum\limits_{n = 0}^\infty {2^n \cdot x^n } $

$ \rho = \frac{1} {{\lim \limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{2^{n+1} }} {{2^n }}} \right|}} = \frac{1} {2} $

d )

$ \sum\limits_{n = 0}^\infty {n^n \cdot x^n } $

$ \rho = \frac{1} {{\lim \limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{\left( {n+1} \right)^{n+1} }} {{n^n }}} \right|}} = \frac{1} {{\lim \limits_{n \to \infty } \left| {\underbrace {\left( {n+1} \right)}_{ \to \infty }\underbrace {\left( {\frac{{n+1}} {n}} \right)^n }_{ \to 1}} \right|}} = 0 $

e )

$ \sum\limits_{n = 0}^\infty {n! \cdot x^n } $

$ \rho = \frac{1} {{\lim \limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{\left( {n+1} \right)!}} {{n!}}} \right|}} = \frac{1} {{\lim \limits_{n \to \infty } \left| {\left( {n+1} \right)\frac{{n!}} {{n!}}} \right|}} = \frac{1} {{\lim \limits_{n \to \infty } \left| {\underbrace {\left( {n+1} \right)}_{ \to \infty }} \right|}} = 0 $

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