09.1 – Dirichlet-Problem

 

Betrachten Sie das Dirichlet-Problem

\begin{array}{*{20}{c}} {-\nabla \cdot a\left( x \right)\nabla u+b\left( x \right) \cdot \nabla u+c\left( x \right)u = f} & {in} & {\partial \Omega } \\ {u = 0} & {auf} & {\partial \Omega } \\ {a\left( x \right) \geq {a_0} > 0} & \forall & {x \in \Omega } \\ {{{\left\| b \right\|}_{{\mathbb{R}^3}}} \leq {b_1} \leq \infty } & \forall & {x \in \Omega } \\ \end{array}

a )

Zeigen Sie, dass die zugehörige Bilinearform

a\left( {u,v} \right) = \int\limits_\Omega {a\left( x \right)\nabla u\nabla v+b\left( x \right)\nabla uv+c\left( x \right)uvd\omega }

in V = H_0^1 elliptisch (koerziv) und beschränkt ist, falls es ein c_0 gibt mit

c-\frac{1} {2}\nabla \cdot b \geq {c_0} \geq 0

und c \in {L^\infty }\left( \Omega \right)

b )

Zeigen Sie, dass das Problem eine eindeutige Lösung besitzt, falls f\in L^2\left(\Omega\right) gilt.

c )

Sei nun a\left(x\right)=1 und b=0. Wie darf c gewählt werden, damit eine Lösung existiert?

Lösung

Elliptische Randwertprobleme-Zusammenfassung

  • Maxprinzip / Minprinzip
    • klassische Lösungen
    • harmonische Funktion / Mittelwerteigenschaft
  • Variationsformulierung
    • schwache Lösungen
    • Sobolevräume
    • Lax-Milgram-Lemma: Existenz und Eindeutigkeit (gibt es bei klassischer Lsg nicht)
    • Zusammenhang: Ist Omega “schön” und die rechte Seite “glatt genug”, ist die schwache Lösung die klassische Lösung.

a )

Testen mit v und partielle Integration liefert:

\int\limits_\Omega {a\left( x \right)\nabla u\nabla v+b\left( x \right)\nabla uv+c\left( x \right)uvd\omega } = \int\limits_\Omega {fvd\omega } \quad \forall v \in H_0^1\left( \Omega \right)

denn:

\int\limits_\Omega {-\nabla \cdot a\left( x \right)\nabla uvd\omega } = \int\limits_\Omega {a\left( x \right)\nabla u\nabla vd\omega } -\int\limits_{\partial \Omega } {a\left( x \right)\frac{{\partial u}} {{\partial n}}vds}

mit v = 0, falls v \in H_0^1\left( \Omega \right)

Gibt es eine eindeutige Lösung u? Ist Lax-Milgram anwendbar?

Bilinearform a\left( {u,v} \right) soll erfüllen:

beschränkt: \left| {a\left( {u,v} \right)} \right| \leq c{\left\| u \right\|_V}{\left\| v \right\|_V}\quad \forall u,v \in V

koerziv: a\left( {v,v} \right) \geq c\left\| v \right\|_V^2\quad \forall v \in V

Sowie rechte Seite Linearform.

Ist a\left( { \cdot , \cdot } \right) koerziv?

a\left( {v,v} \right) = \int\limits_\Omega {a\left( x \right)\nabla v\nabla v+b\left( x \right)\nabla v \cdot v+c\left( x \right)v \cdot vd\omega }

Es ist

\frac{d} {{dt}}{f^2}\left( t \right) = 2f\left( t \right)f'\left( t \right),\quad f \cdot f' = \frac{1} {2}\left( {{f^2}} \right)'

und damit

\nabla v \cdot v = \frac{1} {2}\nabla \left( {{v^2}} \right)

\int\limits_\Omega {b\left( x \right)\frac{1} {2}\nabla \left( {{v^2}} \right)d\omega } = -\int\limits_\Omega {\nabla b\left( x \right)\frac{1} {2}{v^2}d\omega } +\int\limits_{\partial \Omega } {b\left( x \right)\frac{1} {2}\frac{{\partial {v^2}}} {{\partial n}}d\omega }

mit

\int\limits_{\partial \Omega } {b\left( x \right)\frac{1} {2}\frac{{\partial {v^2}}} {{\partial n}}d\omega } = 0

weil wir beim Differenzieren ein v bekommen, das auf dem Rand \partial \Omega immer 0 ist.

a\left( {v,v} \right) = \int\limits_\Omega {a\left( x \right)\nabla v\nabla v+b\left( x \right)\nabla v \cdot v+c\left( x \right)v \cdot vd\omega }

= \int\limits_\Omega {\underbrace {a\left( x \right)}_{ \geq {a_0}}\nabla v\nabla v+\underbrace {\left( {c-\frac{1} {2}\nabla b} \right)}_{ \geq {c_0} \geq 0}{v^2}d\omega } \geq \int\limits_\Omega {{a_0}\nabla v\nabla v+{c_0}{v^2}d\omega }

Es ist also mit

{c_0} > 0

und

{c_1} = \min \left\{ {{a_0},{c_0}} \right\}

a\left( {v,v} \right) \geq {c_1}\int\limits_\Omega {\nabla v\nabla v+{v^2}d\omega } = {c_1}\left\| v \right\|_{H_0^1\left( \Omega \right)}^2

Falls {c_0} = 0:

a\left( {v,v} \right) \geq {a_0}\int\limits_\Omega {\nabla v\nabla vd\omega } = \frac{{{a_0}}} {2}\int\limits_\Omega {\nabla v\nabla vd\omega } +\frac{{{a_0}}} {2}\int\limits_\Omega {\nabla v\nabla vd\omega }

mit Poincaré:

\frac{{{a_0}}} {2}\int\limits_\Omega {\nabla v\nabla vd\omega } \geq c\int\limits_\Omega {vvd\omega }

folgt:

a\left( {v,v} \right) \geq {c_2}\left\| v \right\|_{H_0^1\left( \Omega \right)}^2

Die Bilinearform ist also koerziv. Bleibt zu zeigen: a\left( {u,v} \right) ist beschränkt:

a\left( {u,v} \right) = \int\limits_\Omega {a\left( x \right)\nabla u\nabla v+b\left( x \right)\nabla uv+c\left( x \right)uvd\omega }

\leq \int\limits_\Omega {{a_1}\nabla u\nabla v+b\left( x \right)\nabla uv+{c_1}uvd\omega }

da {a\left( x \right)} und {c\left( x \right)} beschränkt sind.

a\left( {u,v} \right) \leq \int\limits_\Omega {{a_1}\nabla u\nabla v+b\left( x \right)\nabla uv+{c_1}uvd\omega }

\leq \max \left\{ {{a_1},{c_1}} \right\}\int\limits_\Omega {\nabla u\nabla v+uvd\omega } +\int\limits_\Omega {b\left( x \right)\nabla uvd\omega }

Es ist

\int\limits_\Omega {b\left( x \right)\underbrace {\nabla u}_{ \in {L^2}}\underbrace v_{ \in {L^2}}d\omega } \mathop \leq \limits_{Cauchy-Schwarz} {b_1}\sqrt {\int\limits_\Omega {\nabla u\nabla ud\omega } } \sqrt {\int\limits_\Omega {vvd\omega } }

\underbrace {\int\limits_\Omega {\nabla u\nabla v+uvd\omega } }_{{H^1}\quad Skalarprodukt} \leq {\left\| u \right\|_{{H^1}}}{\left\| v \right\|_{{H^1}}}

Damit folgt

a\left( {u,v} \right) \leq \int\limits_\Omega {{a_1}\nabla u\nabla v+b\left( x \right)\nabla uv+{c_1}uvd\omega }

\leq \max \left\{ {{a_1},{c_1}} \right\}\int\limits_\Omega {\nabla u\nabla v+uvd\omega } +\int\limits_\Omega {b\left( x \right)\nabla uvd\omega }

\leq \left[ {\max \left\{ {{a_1},{c_1}} \right\}+{b_1}} \right]{\left\| u \right\|_{{H^1}}}{\left\| v \right\|_{{H^1}}}

b )

Ist f ein lineares stetiges Funktional auf H^1?

f \in {L^2}\quad \Rightarrow \quad f kann als lineares Funktional auf {L^2} interpretiert werden, \Rightarrow \quad f ist daher auf Teilraum, z.B. H_0^1 linear.

Damit ist alles für Lax-Milgram gezeigt!

c )

\left. {\begin{array}{*{20}{c}} {-\Delta u+c\left( x \right)u = f\quad \quad \Omega } \\ {u = 0\quad \quad \partial \Omega } \\ \end{array} } \right\}\quad \Rightarrow \quad c \geq 0

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