09.1 – Wasserförderung mit Kreiselpumpe

 

Wasserförderung Kreiselpumpe Aufgabe

Mit einer Kreiselpumpe wird aus einem Brunnen Wasser in ein höher gelegenes Becken gefördert. Dem Brunnen fließt seinerseits Wasser über einen Filter aus einem See durch eine Rohrleitung zu. In den Rohren bilden sich turbulente Strömungen aus. Die entsprechenden Druckverluste können aus dem Moody-Diagramm entnommen werden. Der geförderte Volumenstrom ist relativ klein, so dass die jeweiligen Wasserhöhen im See, im Brunnen und im Becken als konstant angesehen werden können. Der geförderte Volumenstrom ist \dot V = 550\frac{{{m^3}}}{h}, die Dichte des Wassers ist {\rho _W} = \rho  = 1000\frac{{kg}}{{{m^3}}}, die kinematische Viskosität des Wassers ist {\nu _W} = \nu  = 1,01 \cdot {10^{-6}}\frac{{{m^2}}}{s}. Der Umgebungsdruck ist {p_\infty } = {10^5}Pa. Der Verlustfaktor für die Filter ist {\xi _F} = 0,3, für die gekrümmten Stücke der Rohrleitung ist ein Verlustfaktor von je {\xi _K} = 0,3 anzusetzen. Die Höhe der Pumpe über dem Wasserspiegel des Sees ist {h_P} = 2m, die Höhe des Wasserspiegels im Becken liegt {h_B} = 10m über der Pumpe. Das Rohr vom See in den Brunnen hat einen Durchmesser von {d_1} = 0,2m, und ist {l_1} = 20m lang. Die Rauigkeit des Rohres ist mit {k_{S1}} = 1,6mm angegeben. Für das Rohr 2 gilt {d_2} = 0,25m, {l_2} = 10m, für das Rohr 3 {d_3} = 0,2m, {l_3} = 20m, sowie {\lambda _2} = {\lambda _3} = 0,012.

Zu berechnen sind die Ausdrücke und Zahlenwerte für

  1. die Höhendifferenz z der Wasserspiegel in See und Brunnen.
  2. den Druck p_S unmittelbar vor der Pumpe.
  3. Den Drucksprung \Delta p_S über die Pumpe hinweg.

Lösung

Druckverlust durch Reibung:

\Delta p = \frac{\rho } {2}{u^2}\frac{L} {D}\lambda

Im laminaren Fall gilt:

\lambda  = \frac{{64}} {{{{\operatorname{Re} }_D}}}

Allgemeiner mit Verlustfaktoren:

\Delta p = \frac{\rho } {2}{u^2}\left( {\sum\limits_i {{\xi _i}} +\sum\limits_k {{\lambda _k}\frac{{{L_k}}} {{{D_k}}}} } \right)

Die Verlustfaktoren \xi treten an Kanten, Ecken, Rohrkrümmern und ähnlichem auf.

Moody-Diagramm:

(zum Vergrößern anklicken)
Moody Diagramm
(zum Vergrößern anklicken)

a )

Bernoulligleichung: 0\to 5

{p_0}+\frac{\rho } {2}u_0^2+\rho g{h_0} = {p_5}+\frac{\rho } {2}u_5^2+\rho g{h_5}+\Delta p

Dabei steht der Druckverlust auf der Seite, zu der die Strömung hinfließt.

Einschub: Berechnung des Verlustfaktors

Verlustfaktor Bestimmung

Anwendung von Bernoulli:

{p_E}+\frac{\rho } {2}u_E^2+\rho g\underbrace {{h_E}}_0 = {p_5}+\frac{\rho } {2}\underbrace {u_5^2}_0+\rho g{h_5}+\Delta p

Umstellen:

\Delta p = {p_E}-{p_5}-\rho g{h_5}+\frac{\rho } {2}u_E^2

Gleichsetzen:

{p_E}-{p_5}-\rho g{h_5}+\frac{\rho } {2}u_E^2 = \frac{\rho } {2}u_E^2\left( {\sum\limits_i {{\xi _i}} +\sum\limits_k {{\lambda _k}\frac{{{L_k}}} {{{D_k}}}} } \right)

Da wir die Strömung hinter dem Rohr betrachten, sind alle Faktoren \lambda = 0. Für die Faktoren \xi gibt es nur einen Wert. Es folgt:

\underbrace {{p_E}-{p_5}-\rho g{h_5}}_0+\frac{\rho } {2}u_E^2 = \frac{\rho } {2}u_E^2{\xi _E}\quad  \Rightarrow \quad {\xi _E} = 1

Für die erste Bernoulligleichung kennen wir:

\underbrace {{p_0}}_{{p_\infty }}+\frac{\rho } {2}\underbrace {u_0^2}_0+\rho g\underbrace {{h_0}}_0 = \underbrace {{p_5}}_{{p_\infty }}+\frac{\rho } {2}\underbrace {u_5^2}_0+\rho g\underbrace {{h_5}}_{-z}+\Delta p

\rho gz = \Delta p = \frac{\rho } {2}u_1^2\left( {\sum\limits_i {{\xi _i}} +\sum\limits_k {{\lambda _k}\frac{{{L_k}}} {{{D_k}}}} } \right) = \frac{\rho } {2}u_1^2\left( {{\xi _F}+{\lambda _1}\frac{{{l_1}}} {{{d_1}}}+{\xi _E}} \right)

Wir bestimmen die Geschwindigkeit:

{u_1} = \frac{{\dot V}} {A} = \frac{{4\dot V}} {{d_1^2\pi }} = 4,86\frac{m} {s}

Die zugehörige Reynoldszahl ist:

{\operatorname{Re} _1} = \frac{{{u_1}{d_1}}} {\nu } = 9,64 \cdot {10^5}

ab 2300 ist eine Strömung turbulent!

Rauhigkeit durch Rohrdurchmesser für Moody-Diagramm:

\frac{{{\kappa _s}}} {{{d_1}}} = 8 \cdot {10^{-3}}

Wir lesen in dem Moody-Diagramm ab:

{\lambda _1} = 0,035

In die Ausgangsgleichung eingesetzt:

\rho gz = \Delta p = \frac{\rho } {2}u_1^2\left( {0,3+0,035 \cdot \frac{{{l_1}}} {{{d_1}}}+1} \right) = 56,7kPa

Damit können wir nun z bestimmen:

z = \frac{{\Delta p}} {{\rho g}} = 5,78m

b )

Wir stellen die Bernoulligleichung 5\to S auf:

{p_\infty }-\rho gz = {p_S}+\frac{\rho } {2}u_S^2+\rho g{h_P}+\Delta p

Hier ist:

\Delta p = \frac{\rho } {2}u_S^2\left( {{\xi _F}+{\xi _K}+{\lambda _2}\frac{{{L_2}}} {{{d_2}}}} \right)

Das \lambda müssen wir hier nicht berechnen, da es in der Aufgabenstellung als \lambda_2=0,012 gegeben ist. Die angegebene Länge bezieht sich auf das ganze Rohr, nicht nur auf den waagerechten Teil.

Es ist

{u_S} = \frac{{\dot V}} {{{A_2}}} = 3,11\frac{m} {s}

Daraus folgt für den Druck vor der Pumpe:

{p_S} = {p_\infty }-\rho g\left( {z+{h_P}} \right)-\frac{\rho } {2}u_S^2\left( {1+1,08} \right) = 13,619kPa

c )

In der Pumpe wird der Druck erhöht. Gesucht ist der Drucksprung

Wir stellen die Bernoulligleichung 5\to 4 auf:

\underbrace {{p_5}}_{{p_\infty }}+\frac{\rho } {2}\underbrace {u_5^2}_0+\rho g\underbrace {{h_5}}_z = \underbrace {{p_4}}_{{p_\infty }}+\frac{\rho } {2}\underbrace {u_4^2}_0+\rho g\underbrace {{h_4}}_{{h_P}+{h_B}}+\Delta {p_{2-4}}-\Delta {p_P}

Der letzte “Druckverlust” ist dabei negativ, da die Pumpe dem System Energie zuführt. Für den Druckverlust auf der Strecke 2\to 4 gilt:

\Delta {p_{2-4}} = \frac{\rho } {2}u_2^2\left( {{\xi _F}+{\xi _K}+{\lambda _2}\frac{{{l_2}}} {{{d_2}}}} \right)+\frac{\rho } {2}u_3^2\left( {3{\xi _K}+{\lambda _3}\frac{{{l_3}}} {{{d_3}}}+{\xi _E}} \right)

mit {u_2} = {u_S},\quad {u_3} = {u_1} folgt:

\Delta {p_{2-4}} = 41,8kPa

Der negative Druckverlust (= die Druckzunahme) hinter der Pumpe ist:

\Delta {p_P} = \Delta {p_{2-4}}+\rho g\left( {{h_P}+{h_B}+z} \right) = 216kPa

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2 Kommentare zu “09.1 – Wasserförderung mit Kreiselpumpe”

Hey! könnte es sein das bei b) für p: p = 13,62kPa rauskommen müsste?

Danke übrigens – die Lösungen sind echt gut!!!

Ja, stimmt. War wohl ein Rechenfehler, ich habe das korrigiert. Besser spät als nie^^

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