09.1 – Wasserförderung mit Kreiselpumpe

Wasserförderung Kreiselpumpe Aufgabe

Mit einer Kreiselpumpe wird aus einem Brunnen Wasser in ein höher gelegenes Becken gefördert. Dem Brunnen fließt seinerseits Wasser über einen Filter aus einem See durch eine Rohrleitung zu. In den Rohren bilden sich turbulente Strömungen aus. Die entsprechenden Druckverluste können aus dem Moody-Diagramm entnommen werden. Der geförderte Volumenstrom ist relativ klein, so dass die jeweiligen Wasserhöhen im See, im Brunnen und im Becken als konstant angesehen werden können. Der geförderte Volumenstrom ist $\dot V = 550\frac{{{m^3}}}{h}$ , die Dichte des Wassers ist ${\rho _W} = \rho = 1000\frac{{kg}}{{{m^3}}}$ , die kinematische Viskosität des Wassers ist ${\nu _W} = \nu = 1,01 \cdot {10^{-6}}\frac{{{m^2}}}{s}$ . Der Umgebungsdruck ist ${p_\infty } = {10^5}Pa$ . Der Verlustfaktor für die Filter ist ${\xi _F} = 0,3$ , für die gekrümmten Stücke der Rohrleitung ist ein Verlustfaktor von je ${\xi _K} = 0,3$ anzusetzen. Die Höhe der Pumpe über dem Wasserspiegel des Sees ist ${h_P} = 2m$ , die Höhe des Wasserspiegels im Becken liegt ${h_B} = 10m$ über der Pumpe. Das Rohr vom See in den Brunnen hat einen Durchmesser von ${d_1} = 0,2m$ , und ist ${l_1} = 20m$ lang. Die Rauigkeit des Rohres ist mit ${k_{S1}} = 1,6mm$ angegeben. Für das Rohr 2 gilt ${d_2} = 0,25m$ , ${l_2} = 10m$ , für das Rohr 3 ${d_3} = 0,2m$ , ${l_3} = 20m$ , sowie ${\lambda _2} = {\lambda _3} = 0,012$ .

Zu berechnen sind die Ausdrücke und Zahlenwerte für

die Höhendifferenz der Wasserspiegel in See und Brunnen.
den Druck unmittelbar vor der Pumpe.
Den Drucksprung $\Delta p_S$ über die Pumpe hinweg.

Lösung

Druckverlust durch Reibung:

$\Delta p = \frac{\rho } {2}{u^2}\frac{L} {D}\lambda$

Im laminaren Fall gilt:

$\lambda = \frac{{64}} {{{{\operatorname{Re} }_D}}}$

Allgemeiner mit Verlustfaktoren:

$\Delta p = \frac{\rho } {2}{u^2}\left( {\sum\limits_i {{\xi _i}} +\sum\limits_k {{\lambda _k}\frac{{{L_k}}} {{{D_k}}}} } \right)$

Die Verlustfaktoren $\xi$ treten an Kanten, Ecken, Rohrkrümmern und ähnlichem auf.

Moody-Diagramm:

(zum Vergrößern anklicken)

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a )

Bernoulligleichung: $0\to 5$

${p_0}+\frac{\rho } {2}u_0^2+\rho g{h_0} = {p_5}+\frac{\rho } {2}u_5^2+\rho g{h_5}+\Delta p$

Dabei steht der Druckverlust auf der Seite, zu der die Strömung hinfließt.

Einschub: Berechnung des Verlustfaktors

Verlustfaktor Bestimmung

Anwendung von Bernoulli:

${p_E}+\frac{\rho } {2}u_E^2+\rho g\underbrace {{h_E}}_0 = {p_5}+\frac{\rho } {2}\underbrace {u_5^2}_0+\rho g{h_5}+\Delta p$

Umstellen:

$\Delta p = {p_E}-{p_5}-\rho g{h_5}+\frac{\rho } {2}u_E^2$

Gleichsetzen:

${p_E}-{p_5}-\rho g{h_5}+\frac{\rho } {2}u_E^2 = \frac{\rho } {2}u_E^2\left( {\sum\limits_i {{\xi _i}} +\sum\limits_k {{\lambda _k}\frac{{{L_k}}} {{{D_k}}}} } \right)$

Da wir die Strömung hinter dem Rohr betrachten, sind alle Faktoren $\lambda = 0$ . Für die Faktoren $\xi$ gibt es nur einen Wert. Es folgt:

$\underbrace {{p_E}-{p_5}-\rho g{h_5}}_0+\frac{\rho } {2}u_E^2 = \frac{\rho } {2}u_E^2{\xi _E}\quad \Rightarrow \quad {\xi _E} = 1$

Für die erste Bernoulligleichung kennen wir:

$\underbrace {{p_0}}_{{p_\infty }}+\frac{\rho } {2}\underbrace {u_0^2}_0+\rho g\underbrace {{h_0}}_0 = \underbrace {{p_5}}_{{p_\infty }}+\frac{\rho } {2}\underbrace {u_5^2}_0+\rho g\underbrace {{h_5}}_{-z}+\Delta p$

$\rho gz = \Delta p = \frac{\rho } {2}u_1^2\left( {\sum\limits_i {{\xi _i}} +\sum\limits_k {{\lambda _k}\frac{{{L_k}}} {{{D_k}}}} } \right) = \frac{\rho } {2}u_1^2\left( {{\xi _F}+{\lambda _1}\frac{{{l_1}}} {{{d_1}}}+{\xi _E}} \right)$

Wir bestimmen die Geschwindigkeit:

${u_1} = \frac{{\dot V}} {A} = \frac{{4\dot V}} {{d_1^2\pi }} = 4,86\frac{m} {s}$

Die zugehörige Reynoldszahl ist:

${\operatorname{Re} _1} = \frac{{{u_1}{d_1}}} {\nu } = 9,64 \cdot {10^5}$

ab 2300 ist eine Strömung turbulent!

Rauhigkeit durch Rohrdurchmesser für Moody-Diagramm:

$\frac{{{\kappa _s}}} {{{d_1}}} = 8 \cdot {10^{-3}}$

Wir lesen in dem Moody-Diagramm ab:

${\lambda _1} = 0,035$

In die Ausgangsgleichung eingesetzt:

$\rho gz = \Delta p = \frac{\rho } {2}u_1^2\left( {0,3+0,035 \cdot \frac{{{l_1}}} {{{d_1}}}+1} \right) = 56,7kPa$

Damit können wir nun bestimmen:

$z = \frac{{\Delta p}} {{\rho g}} = 5,78m$

b )

Wir stellen die Bernoulligleichung $5\to S$ auf:

${p_\infty }-\rho gz = {p_S}+\frac{\rho } {2}u_S^2+\rho g{h_P}+\Delta p$

Hier ist:

$\Delta p = \frac{\rho } {2}u_S^2\left( {{\xi _F}+{\xi _K}+{\lambda _2}\frac{{{L_2}}} {{{d_2}}}} \right)$

Das $\lambda$ müssen wir hier nicht berechnen, da es in der Aufgabenstellung als $\lambda_2=0,012$ gegeben ist. Die angegebene Länge bezieht sich auf das ganze Rohr, nicht nur auf den waagerechten Teil.

Es ist

${u_S} = \frac{{\dot V}} {{{A_2}}} = 3,11\frac{m} {s}$

Daraus folgt für den Druck vor der Pumpe:

${p_S} = {p_\infty }-\rho g\left( {z+{h_P}} \right)-\frac{\rho } {2}u_S^2\left( {1+1,08} \right) = 25,5kPa$

c )

In der Pumpe wird der Druck erhöht. Gesucht ist der Drucksprung

Wir stellen die Bernoulligleichung $5\to 4$ auf:

$\underbrace {{p_5}}_{{p_\infty }}+\frac{\rho } {2}\underbrace {u_5^2}_0+\rho g\underbrace {{h_5}}_z = \underbrace {{p_4}}_{{p_\infty }}+\frac{\rho } {2}\underbrace {u_4^2}_0+\rho g\underbrace {{h_4}}_{{h_P}+{h_B}}+\Delta {p_{2-4}}-\Delta {p_P}$

Der letzte “Druckverlust” ist dabei negativ, da die Pumpe dem System Energie zuführt. Für den Druckverlust auf der Strecke $2\to 4$ gilt:

$\Delta {p_{2-4}} = \frac{\rho } {2}u_2^2\left( {{\xi _F}+{\xi _K}+{\lambda _2}\frac{{{l_2}}} {{{d_2}}}} \right)+\frac{\rho } {2}u_3^2\left( {3{\xi _K}+{\lambda _3}\frac{{{l_3}}} {{{d_3}}}+{\xi _E}} \right)$