09.2 – Robin-Problem

 

Betrachten Sie das Robin-Problem

\begin{array}{*{20}{c}} {-\nabla \cdot a\left( x \right)\nabla u = f} & {in} & \Omega \\ {a\frac{{\partial u}} {{\partial n}}+\sigma u = g} & {auf} & {\partial \Omega } \\ {a\left( x \right) \geq {a_0} > 0} & \forall & {x \in \Omega } \\ {\sigma \left( x \right) \geq {\sigma _0} > 0} & \forall & {x \in \Omega } \\ \end{array}

a )

Geben Sie die zugehörige Bilinearform an

b )

Zeigen Sie, dass die zugehörige Bilinearform in V = {H^1}\left( \Omega \right) elliptisch und beschränkt ist.

Hinweis: Durch

{\left\| {\left| v \right|} \right\|^2} = \int\limits_\Omega {\nabla v\nabla vd\omega } +\int\limits_{\partial \Omega } {vvds}

ist eine zur üblichen H^1 Norm äquivalente Norm definiert.

Lösung

a )

a\left( {u,v} \right) = \int\limits_\Omega {a\left( x \right)\nabla u\nabla ud\omega } +\int\limits_{\partial \Omega } {a\left( x \right)uvds} = \int\limits_\Omega {f \cdot vd\omega } +\int\limits_{\partial \Omega } {gvds}

\forall v \in {H^1}\left( \Omega \right) (und NICHT mehr H_0^1)

b )

{\left\| {\left| v \right|} \right\|^2} = \underbrace {\int\limits_\Omega {\nabla v\nabla vd\omega } }_{{H^1}\quad Seminorm}+\underbrace {\int\limits_{\partial \Omega } {vvds} }_{v = const}

ist eine zur H^1 Norm äquivalente Norm.

a\left( {v,v} \right) = \int\limits_\Omega {a\left( x \right)\nabla v\nabla vd\omega } +\int\limits_{\partial \Omega } {\sigma \left( x \right)vvds}

\geq \min \left\{ {{a_0},{\sigma _0}} \right\}\left[ {\int\limits_\Omega {\nabla v\nabla vd\omega } +\int\limits_{\partial \Omega } {vvds} } \right] \geq c{\left\| {\left| v \right|} \right\|^2}

Wir haben also die Arbeit verlagert: Triebel hat nachgewiesen, dass \left\| {\left| v \right|} \right\| eine {H^1}-Norm ist.

Beschränkt:

a\left( {u,v} \right) = \int\limits_\Omega {a\left( x \right)\nabla u\nabla vd\omega } +\int\limits_{\partial \Omega } {\sigma \left( x \right)vvds}

\leq \max \left\{ {a\left( x \right),\sigma \left( x \right)} \right\}\left[ {\int\limits_\Omega {\nabla u\nabla vd\omega } +\int\limits_{\partial \Omega } {uvds} } \right]

Bleibt RHS.

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