09.2 – Rohrsystem mit unterschiedlichen Durchmessern und Pumpe

 

In einem Rohrsystem wird Wasser mit einer Pumpe gefördert. Am U-Rohr-Manometer (gefüllt mit Quecksilber) wird bei der eingestellten Strömung eine Höhendifferenz von \Delta h abgelesen. In den Steigrohren am Anfang und am Ende des Rohrleitungs-Systems wird jeweils die gleiche Füllhöhe abgelesen. Die beiden Krümmer haben jeweils einen Verlustbeiwert {\xi _K}.

Rohrsystem Pumpe Aufgabe

Hinweise:
Verluste durch Strömungserweiterungen und -verengungen werden nicht berücksichtigt. Verluste durch Rohrreibung werden nur in den Rohren mit dem kleinern Durchmesser d_2 berücksichtigt. Druckverlust in Rohrströmungen:

\Delta p = \frac{\rho } {2}{u^2}\left( {\sum\limits_i {{\xi _i}} +\sum\limits_k {{\lambda _k}\frac{{{L_k}}} {{{D_k}}}} } \right)

Gegeben:

Rohrleitungen: {d_1} = 1m,\quad {d_2} = 0,5m,\quad {L_2} = 4m

Höhenunterschiede: \Delta h = 0,3m,\quad {h_1} = 1,8m,\quad {h_2} = 0,8m

Umgebung: g = 9,81\frac{m} {{{s^2}}},\quad \eta = 0,95

Konstanten:

{\xi _K} = 0,2

{\rho _W} = 1000\frac{{kg}} {{{m^3}}},\quad {\rho _{Hg}} = 13500\frac{{kg}} {{{m^3}}}

{\nu _W} = 1,75 \cdot {10^{-6}}\frac{{{m^2}}} {s}

{\lambda _{laminar}} = 0,03,\quad {\lambda _{turbulent}} = 0,02

Aufgaben:

  1. Berechnen Sie die Änderung des statischen Druckes p_{12}-p_9 mit Hilfe des Höhenunterschiedes der Quecksilbersäule. Der Druckverlust durch Reibung zwischen den Punkten 9 und 12 kann vernachlässigt werden.
  2. Bestimmen Sie die Strömungsgeschwindigkeit u_2.
  3. Herrscht laminare Strömung im Rohr mit dem Durchmesser d_2?
  4. Wie groß ist der Volumenstrom durch das Rohrsystem?
  5. Welcher Druckanstieg muss durch die Pumpe erzeugt werden? Nur Reibungsverluste im Rohr mit dem Durchmesser d_2 werden berücksichtigt.
  6. Welche Wellenleistung (Wirkungsgrad \eta) muss an der Pumpe dafür aufgebracht werden?
  7. Skizzieren Sie den Ort des maximalen statischen Druckes p_{\max} zwischen den Punkten 1 und 12 und tragen Sie anschließend qualitativ den Verlauf des statischen Druckes entlang des eingezeichneten Stromfadens zwischen den Punkten 1 und 12 in ein Diagramm ein.
    Parallele Abschnitte des Druckverlaufs sind als solche zu kennzeichnen.

Lösung

a )

Quecksilber Manometer Veranschaulichung

{p_{12}}+{\rho _W}g\Delta h = {p_g}+{\rho _{Hg}}g\Delta {\text{h}}

Damit ergibt sich für die Druckdifferenz:

{p_{12}}-{p_g} = g \Delta h\left( {{\rho _{Hg}}-{\rho _W}} \right) = 36788Pa = 36,8kPa

b )

Wir stellen die Bernoulligleichung 12\to 9 auf:

{p_9}+\frac{1} {2}{\rho _W}u_2^2 = {p_{12}}+\frac{1} {2}{\rho _W}u_1^2

{p_{12}}-{p_9} = \frac{1} {2}{\rho _W}u_2^2-\frac{1} {2}{\rho _W}u_1^2

Kontinuitätsgleichung:

{A_1}{u_1} = {A_2}{u_2}\quad \Rightarrow \quad {u_1} = \frac{{{A_2}}} {{{A_1}}}{u_2}

einsetzen:

{p_{12}}-{p_9} = \frac{1} {2}{\rho _W}u_2^2-\frac{1} {2}{\rho _W}{\left( {\frac{{{A_2}}} {{{A_1}}}{u_2}} \right)^2}

gleichsetzen mit Ergebnis aus a):

g\Delta h\left( {{\rho _{Hg}}-{\rho _W}} \right) = \frac{1} {2}{\rho _W}u_2^2-\frac{1} {2}{\rho _W}{\left( {\frac{{{A_2}}} {{{A_1}}}{u_2}} \right)^2}

g\Delta h\left( {{\rho _{Hg}}-{\rho _W}} \right) = \frac{1} {2}{\rho _W}\left[ {u_2^2-{{\left( {\frac{{\pi {{\left( {\frac{{{d_2}}} {2}} \right)}^2}}} {{\pi {{\left( {\frac{{{d_1}}} {2}} \right)}^2}}}{u_2}} \right)}^2}} \right]

g\Delta h\left( {{\rho _{Hg}}-{\rho _W}} \right) = \frac{1} {2}{\rho _W}\left[ {u_2^2-{{\left( {\frac{{{d_2}^2}} {{{d_1}^2}}{u_2}} \right)}^2}} \right]

\frac{{2g\Delta h\left( {{\rho _{Hg}}-{\rho _W}} \right)}} {{{\rho _W}\left[ {1-{{\left( {\frac{{{d_2}^2}} {{{d_1}^2}}} \right)}^2}} \right]}} = u_2^2\quad \Rightarrow \quad {u_2} = \sqrt {\frac{{2g\Delta h\left( {{\rho _{Hg}}-{\rho _W}} \right)}} {{{\rho _W}\left[ {1-{{\left( {\frac{{{d_2}^2}} {{{d_1}^2}}} \right)}^2}} \right]}}}

= \sqrt {\frac{{2 \cdot 9,81\frac{m} {{{s^2}}} \cdot 0,3m \cdot \left( {13500\frac{{kg}} {{{m^3}}}-1000\frac{{kg}} {{{m^3}}}} \right)}} {{1000\frac{{kg}} {{{m^3}}} \cdot \frac{{15}} {{16}}}}}

= \sqrt {\frac{{2 \cdot 9,81\frac{m} {{{s^2}}} \cdot 0,3m \cdot \left( {13500\frac{{kg}} {{{m^3}}}-1000\frac{{kg}} {{{m^3}}}} \right)}} {{1000\frac{{kg}} {{{m^3}}} \cdot \frac{{15}} {{16}}}}} = 8,857\frac{m} {s}

c )

Die kritische Reynoldszahl ist {\operatorname{Re} _{krit}} = 2300

Es gilt:

{\operatorname{Re} _2} = \frac{{{u_2}{d_2}}} {\nu } = 2,5 \cdot {10^6} > 2300\quad \Rightarrow \quad turbulent

d )

\dot V = {A_2}{u_2} = \frac{\pi } {4}d_2^2{u_2} = 1,74\frac{{{m^3}}} {s}

e )

Wir stellen die Bernoulligleichung 1\to 12 auf und betrachten dabei die Punkte jeweils an der Wasseroberfläche der Steigrohre (daher Umgebungsdruck):

{p_0}+\rho {\text{g}}{{\text{h}}_{St}}+\frac{\rho } {2}u_{st}^2 = {p_0}+\rho g{h_{St}}+\rho g\left( {{h_1}+{h_2}} \right)+\frac{\rho } {2}u_{st}^2+\Delta {p_{1-12}}-\Delta {{\text{p}}_P}

Dabei ist h_{St} die Höhe im Steigrohr. Es folgt:

\Delta {p_P} = \rho g\left( {{h_1}+{h_2}} \right)+\Delta {p_{1-12}}

= \rho g\left( {{h_1}+{h_2}} \right)+\frac{\rho } {2}u_2^2\left( {2{\xi _K}+\frac{{{L_2}}} {{{d_2}}}{\lambda _t}} \right) = 3,96 \cdot {10^4}Pa = 47,462kPa

(Laut Seminarübung: 39,6kPa)

f )

Die Leistung der Pumpe ist:

{P_P} = \frac{{\dot V\Delta {p_P}}} {\eta }

Der Volumenstrom ist:

\dot V = {u_1}{A_1} = {u_2}{A_2} = 8,857\frac{m} {s} \cdot \frac{\pi } {{16}}{m^2} = 1,739\frac{{{m^3}}} {s}

Wir können den Volumenstrom im Querschnitt mit der bekannten Geschwindigkeit u_2 benutzen, obwohl die Pumpe im größeren Querschnitt eingebaut ist. Das liegt daran, dass der Volumenstrom überall gleich ist (Kontinuitätsgleichung!).

{P_P} = \frac{{\dot V\Delta {p_P}}} {\eta } = \frac{{1,739\frac{{{m^3}}} {s} \cdot 47,462kPa}} {{0,95}} = 86,88kW

(Laut Seminarübung: {P_P} = \frac{{\dot V\Delta {p_P}}}{\eta } = 76,6kW)

g )

Diagramm Druckverlauf im Rohrsystem

Da wir die Reibung in den dicken Rohren vernachlässigen, und es am Anfang auch keine Krümmung oder ähnliches gibt, ist der Druck zwischen 1 und 2 konstant. Zwischen 2 und 3 steigt der Druck auf seinen maximalen Wert (bedingt durch die Pumpe). Anschließend (3 nach 4) geht die Strömung durch die Verengung. Dadurch steigt die Geschwindigkeit, der Druck sinkt. Zwischen 4 und 5 gibt es einen Reibungsverlust aufgrund der Reibung im kleinen Rohrquerschnitt. Zwischen 5 und 6 gibt es einen stärkeren Druckabfall durch den Krümmer. Zwischen 6 und 7 gibt es wieder einen Druckverlust durch Reibung und zusätzlich durch die Höhendifferenz. Zwischen 7 und 8 gibt es wieder einen Krümmer. Zwischen 8 und 9 gibt es wieder Druckverlust durch Reibung im engen Rohrquerschnitt. Zwischen 9 und 10 sinkt der Druck weiter. Zwischen 10 und 11 steigt der Druck wieder, da sich der Rohrquerschnitt vergrößert und die Geschwindigkeit sinkt. Zwischen 11 und 12 bleibt der Druck wieder konstant.

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