09 – Funktionenräume

 

Beispiel für einen normierten Raum: Funktionenräume

Wir betrachten beschränkte, komplexwertige Funktionen auf \left[ {0,1} \right]:

Raum B\left[ {0,1} \right]

Die Supremumsnorm ist definiert als:

\left\| f \right\|: = \sup \left\{ {\left| {f\left( t \right)} \right|} \right\},\quad t \in \left[ {0,1} \right]

Forderungen an die Norm:

\left( {N1} \right):\quad \left\| f \right\| = \sup \left\{ {\left| {f\left( t \right)} \right|} \right\} \geq 0

Es sei \left\| 0 \right\| = 0 und umgekehrt

\left\| f \right\| = \sup \left\{ {\left| {f\left( t \right)} \right|} \right\} = 0\quad  \Rightarrow \quad \left| {f\left( t \right)} \right| = 0\quad  \Rightarrow \quad f\left( t \right) = 0

\left( {N2} \right):\quad \left\| {\alpha f} \right\| = \sup \left\{ {\left| {\alpha f\left( t \right)} \right|} \right\} = \left| \alpha  \right| \cdot \sup \left\{ {\left| {f\left( t \right)} \right|} \right\} = \left| \alpha  \right| \cdot \left\| f \right\|

\left( {N3} \right):\quad \left\| {f+g} \right\| = \sup \left\{ {\left| {f\left( t \right)+g\left( t \right)} \right|} \right\} \leq \sup \left\{ {\left| {f\left( t \right)} \right|+\left| {g\left( t \right)} \right|} \right\}

\leq \sup \left\{ {\left| {f\left( t \right)} \right|} \right\}+\sup \left\{ {\left| {g\left( t \right)} \right|} \right\} = \left\| f \right\|+\left\| g \right\|

B\left[ {0,1} \right] ist ein Banach-Raum und nicht separabel.

zur Erinnerung: Ein topologischer Raum heißt separabel, wenn es eine abzählbare Teilmenge gibt, die in diesem Raum dicht liegt.

Weitere Informationen hierzu im Artikel Nr. 7.