09 – Taylorreihenentwicklung für die Tangensfunktion

 

Berechnen Sie zu der Funktion

\tan :\left( {-\frac{\pi } {2},\frac{\pi } {2}} \right) \to \mathbb{R}

das Taylorpolynom dritter Ordnung im Entwicklungspunkt 0. Skizzieren Sie außerdem die Graphen beider Funktionen.

Lösung

In der Analysis verwendet man Taylorreihen, um eine Funktion in einem Intervall um einen bestimmten Punkt durch eine Potenzreihe darzustellen. So kann ein komplizierter analytischer Ausdruck durch eine nach wenigen Gliedern abgebrochene Taylorreihe angenähert werden.
Die Taylorreihe einer Funktion f in einem Punkt ist die Potenzreihenentwicklung der Funktion an diesem Punkt.

Die Taylorreihe wird berechnet mit der Formel:

T\left( x \right) = f\left( a \right)+\frac{{f ^{\prime}\left( a \right)}} {{1!}}\left( {x-a} \right)+\frac{{f^{\left( 2 \right)} \left( a \right)}} {{2!}}\left( {x-a} \right)^2 +...+\frac{{f^{\left( n \right)} \left( a \right)}} {{n!}}\left( {x-a} \right)^n +...

T\left( x \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{f^{\left( n \right)} \left( a \right)}} {{n!}}\left( {x-a} \right)^n }

Wir müssen also die Funktion tan(x) für das Taylorpolynom dritter Ordnung zunächst drei Mal ableiten:

f\left( x \right) = \tan x = \frac{{\sin x}} {{\cos x}}

f^{\left( 1 \right)} \left( x \right) = \frac{{\cos x \cdot \cos x+\sin x \cdot \sin x}} {{\cos x \cdot \cos x}} = \frac{1} {{\cos ^2 x}}

f^{\left( 2 \right)} \left( x \right) = \frac{{0 \cdot \cos ^2 x-1 \cdot \left( {-\sin x\cos x-\sin x\cos x} \right)}} {{\cos ^4 x}} = \frac{{2\sin x\cos x}} {{\cos ^4 x}} = \frac{{2\sin x}} {{\cos ^3 x}} = \frac{2} {{\cos ^2 x}}\tan x

f^{\left( 3 \right)} \left( x \right) = \frac{2} {{\cos ^3 x}} \cdot \cos x+\frac{{2 \cdot \left( {-3} \right)}} {{\cos ^4 x}} \cdot \left( {-\sin x} \right)\sin x = \frac{2} {{\cos ^2 x}}+\frac{{6\sin ^2 x}} {{\cos ^4 x}}

= \frac{2} {{\cos ^2 x}} \cdot \left( {1+3\tan ^3 x} \right)

(oder alternativ mit der Produkt- und Quotientenregel:)

f^{\left( 3 \right)} \left( x \right) = \frac{{4\sin x\cos x}} {{\cos ^4 x}}\tan x+\frac{2} {{\cos ^2 x}} \cdot \frac{1} {{\cos ^2 x}} = \frac{{4\tan ^2 x}} {{\cos ^2 x}}+\frac{2} {{\cos ^4 x}}

Nun setzen wir in die Formel für das Taylor-Polynom ein:

T\left( x \right) = f\left( 0 \right)+\frac{{f^{\left( 1 \right)} \left( 0 \right)}} {{1!}}\left( {x-0} \right)+\frac{{f^{\left( 2 \right)} \left( 0 \right)}} {{2!}}\left( {x-0} \right)^2 +\frac{{f^{\left( 3 \right)} \left( 0 \right)}} {{3!}}\left( {x-0} \right)^2

= \tan \left( 0 \right)+\frac{{\frac{1} {{\cos ^2 \left( 0 \right)}}}} {{1!}}x+\frac{{\frac{2} {{\cos ^2 \left( 0 \right)}}\tan \left( 0 \right)}} {{2!}}x^2 +\frac{{\frac{{4\tan ^2 \left( 0 \right)}} {{\cos ^2 \left( 0 \right)}}+\frac{2} {{\cos ^4 \left( 0 \right)}}}} {{3!}}x^3

= 0+x+0+\frac{2} {{3!}}x^3 = x+\frac{{x^3 }} {3}

Der Graph der beiden Funktionen:

lila: tan(x)
pink: Taylorpolynom