10.1 – Umlenkung eines Flüssigkeitsstrahls

 

Aus einem Düsenschlitz (Höhe h_1, Breite b) tritt ein Flüssigkeitsstrahl mit konstanter Geschwindigkeit c_1 in die freie Umgebung (Druck p_a) aus. Der Strahl trifft auf eine Umlenkschaufel und verlässt diese mit geänderter Richtung (Winkel \alpha) und geändertem Rechteckquerschnitt (Höhe h_2, Breite b). Das Geschwindigkeitsprofil an dieser Stelle lässt sich näherungsweise durch eine lineare Funktion mit den Werten c=0 an der Schaufelwand und c=c_{max} an der Strahloberfläche darstellen.

Unter Voraussetzung stationärer Strömung und unter Vernachlässigung der Erdschwere bestimme man in Abhängigkeit gegebener Größen die Horizontal- und Vertikalkomponente der Haltekraft \vec F_H, die an der Schaufel angreifen muss, damit diese im Gleichgewicht ist.

Umlenkung Flüssigkeitsstrahl Schaufel Impulssatz Aufgabe

Gegeben:

\rho = 1000\frac{{kg}} {{{m^3}}},\quad {c_1} = 1\frac{m} {s},\quad b = 0,1,\quad {h_1} = 0,1m = 2{h_2},\quad \alpha = 30^\circ

Lösung

Vorbetrachtung zum Impulssatz

Es gilt:

\vec F = \dot{ \vec P} = \frac{d} {{dt}}\left( {mv} \right) = \dot m v+m\dot v

Bei stationären Strömungen können wir den Term m\dot v vernachlässigen, es gilt daher:

\vec F = \dot{ \vec P} = \frac{d} {{dt}}\left( {mv} \right) = \dot mv

\vec F = \int\limits_O {\rho \vec u\left( {\vec u \cdot \vec n} \right)dA}

mit

\vec u \cdot \vec n = \left| {\vec u} \right|\left| {\vec n} \right|\cos \left( {\measuredangle \left( {\vec u,\vec n} \right)} \right)

Der Winkel zwischen Normalenvektor und Geschwindigkeitsvektor ist meist 180°, daher ist:

\vec u \cdot \vec n = \left| {\vec u} \right|\left| {\vec n} \right|\cos \left( {\measuredangle \left( {\vec u,\vec n} \right)} \right) = 1

{{\vec u}_1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{c_1}} \\ 0 \\ \end{array} } \right),\quad \vec u \cdot \vec n = {c_1} \cdot \cos \left( \pi \right) = -{c_1}

{{\vec u}_2} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {-\cos \alpha \left| {{{\vec u}_2}} \right|} \\ {-\sin \alpha \left| {{{\vec u}_2}} \right|} \\ \end{array} } \right),\quad \left| {{{\vec u}_2}\left( {{x_2}} \right)} \right| = \frac{{{x_2}{c_{max}}}} {{{h_2}}}

Die maximale Geschwindigkeit c_{max} folgt aus der Kontinuitätsgleichung:

{h_1}b{c_1} = {h_2}b\frac{{{c_{max}}}} {2}\quad \Rightarrow \quad {c_{max}} = \frac{{2{c_1}{h_1}}} {{{h_2}}}

{{\vec u}_2}{{\vec n}_2} = \left| {{{\vec u}_2}} \right|

Bei Positionen 3, 4 und 5 gilt:

{{\vec n}_i} \cdot {{\vec u}_i} = 0

Es ist allgemein

\vec F = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{F_x}} \\ {{F_y}} \\ \end{array} } \right)

mit

{F_x} = \int\limits_O {\rho {u_x}\left( {\vec u \cdot \vec n} \right)dA} = \rho \left[ {{u_{{1_x}}}\left( {{{\vec u}_1} \cdot {{\vec n}_1}} \right){A_1}+\int\limits_{{A_2}} {{u_{{2_x}}}\left( {{{\vec u}_2} \cdot {{\vec n}_2}} \right)dA} } \right]

= \rho \left[ {-c_1^2{h_1}b+\int_0^b {\int_0^{{h_2}} {-\cos \alpha {{\left( {\frac{{2{x_2}{c_1}{h_1}}} {{{h_2}{h_2}}}} \right)}^2}d{x_2}} dz} } \right]

= \rho \left( {-c_1^2{h_1}b+b\left[ {-\cos \alpha \frac{{4c_1^2h_1^2}} {{h_2^4}} \cdot \frac{{h_2^3}} {3}} \right]} \right)

= \rho c_1^2{h_1}b\left( {-1-\frac{{4{h_1}}} {{3{h_2}}}\cos \alpha } \right) = -33,1N

und

{F_y} = \int\limits_{{A_2}} {{u_{{2_y}}}\left( {{{\vec u}_2} \cdot {{\vec n}_2}} \right)dA} = -b\rho \sin \alpha \int_0^{{h_2}} {\frac{{x_2^2c_{max}^2}} {{h_2^2}}dx}

= -b\rho \sin \alpha \cdot \frac{{4c_1^2h_1^2}} {{h_2^4}} \cdot \frac{{h_2^3}} {3}

= -{b_c}_1^2sin\alpha \cdot \frac{{4\rho h_1^2}} {{3{h_2}}} = -13,3N