10.2 – Propeller in Luftströmung

 

Ein Propeller wird über einen Elektromotor angetrieben. Vor dem Propeller ist die Geschwindigkeit u_\infty konstant über die gesamte Ansaugfläche (Radius R_1). Die Strömung wird beschleunigt, schnürt sich zusammen und hat schließlich ein parabolisches Profil u\left(r\right).

Berechnen Sie die Leistung des Elektromotors, die benötigt wird, um die angesaugte Luft auf u\left(r\right) zu beschleunigen.

Propeller in Luftströmung Aufgabe

Hinweis:

u\left( r \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    {\left( {{u_\infty }-{u_{max}}} \right)\frac{{{r^2}}} {{R_2^2}}+{u_{max}},} & {\left| r \right| \leq {R_2}}  \\    {{u_\infty },} & {\left| r \right| \geq {R_2}}  \\  \end{array} } \right.

Wirkungsgrad des Motors: \eta = 0,85

Gegeben:

{R_1} = 2{R_2} = 10cm,\quad {u_\infty } = 2\frac{m} {s},\quad {\rho _{Luft}} = 1,2\frac{{kg}} {{{m^3}}}

Lösung

Wir zeichnen zunächst die Geschwindigkeiten und Normalenvektoren ein. Dabei ist Position 1 links, Position 2 rechts und Position 3 oben. Wir berechnen nun {u_{max}} mit der Kontinuitätsgleichung:

{u_\infty }R_1^2\pi  = {{\bar u}_2}R_2^2\pi \quad  \Rightarrow \quad {{\bar u}_2} = \frac{{{u_\infty }R_1^2}} {{R_2^2}}

Für die mittlere Geschwindigkeit gilt:

{{\bar u}_2} = \int\limits_A {u\left( r \right)dA} \frac{1} {A} = \int_0^{2\pi } {\int_0^{{R_2}} {\left[ {\left( {{u_\infty }-{u_{max}}} \right)\frac{{{r^2}}} {{R_2^2}}+{u_{max}}} \right]rdr} d\varphi }

= \frac{{2\pi }} {{R_2^2\pi }}\left[ {\left( {{u_\infty }-{u_{max}}} \right)\frac{{R_2^4}} {{4R_2^2}}+{u_{max}}\frac{{R_2^2}} {2}} \right]

= \frac{{{u_\infty }-{u_{max}}}} {2}+{u_{max}}

= \frac{{{u_\infty }+{u_{max}}}} {2}

Daraus folgt direkt:

{u_{max}} = {u_\infty }\left( {\frac{{2R_1^2}} {{R_2^2}}-1} \right)

und mit {R_1} = 2{R_2}

{u_{max}} = 7{u_\infty }

Das Geschwindigkeitsprofil ist dann:

u\left( t \right) = \left( {{u_\infty }-7{u_\infty }} \right)\frac{{{r^2}}} {{R_2^2}}+7{u_\infty } = {u_\infty }\left( {7-6\frac{{{r^2}}} {{R_2^2}}} \right)

Für die Kraft F schreiben wir:

F = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    {{F_x}}  \\    {{F_y}}  \\  \end{array} } \right)

mit {F_y} = 0 weil {u_y} = 0,\quad {{\vec u}_3}{{\vec n}_3} = 0

Berechnung der Kraft in x-Richtung:

{F_x} = \int\limits_O {\rho {u_x}\left( {\vec u \cdot \vec n} \right)dA}

= \rho \left[ {-u_\infty ^2R_1^2\pi +\int_0^{2\pi } {\int_0^{{R_2}} {u_x^2\left( r \right)rdr} d\varphi } } \right]

= \rho u_\infty ^2\pi \left( {-R_1^2+19R_2^2} \right) = 15\rho u_\infty ^2\pi R_2^2

= 0,56N

Wenn der Motor einen Wirkungsgrad von 85% hat, gilt für die Leistung:

P = \frac{{S \cdot {u_\infty }}} {\eta } = \frac{{0,56N \cdot 2\frac{m} {s}}} {{0,85}} = 1,32W

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2 Kommentare zu “10.2 – Propeller in Luftströmung”

Wie gross ist u_max und auf welcher Strecke wird beschleunigt?

    \[u_{max}\]

beträgt das 7-fache der nicht angegebenen Umgebungsgeschwindigkeit (siehe Rechnung).
Die Beschleunigungsstrecke spielt in dieser Rechnung keine Rolle und ist ebenfalls nicht angegeben.

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