10 – Taylorreihenentwicklung und Konvergenzradius

 

Entwickeln Sie die Funktion

f:\left( {0,\infty } \right) \to \mathbb{R},\quad \quad \quad x \mapsto \frac{1} {x}

in ihrer Taylorreihe im Entwicklungspunkt 2 und bestimmen Sie den Konvergenzradius dieser Reihe.

Konvergiert diese Taylorreihe gegen die Funktion f?

Lösung

Wir leiten die Funktion ab:

f\left( x \right) = \frac{1} {x} = x^{-1}

f^{\left( 1 \right)} \left( x \right) = -\frac{1} {{x^2 }} = -x^{-2}

f^{\left( 2 \right)} \left( x \right) = 2\frac{1} {{x^3 }} = 2x^{-3}

f^{\left( 3 \right)} \left( x \right) = -6\frac{1} {{x^4 }} = -6x^{-4}

Wir verallgemeinern:

f^{\left( n \right)} \left( x \right) = \left( {-1} \right)^n \frac{{n!}} {{x^{n+1} }}

Entwicklung des Taylorpolynoms:

T\left( x \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{f^{\left( n \right)} \left( a \right)}} {{n!}}\left( {x-a} \right)^n }

a = 2

T\left( x \right) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{\left( {-1} \right)^n \frac{{n!}} {{2^{n+1} }}}} {{n!}}\left( {x-2} \right)^n } = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{\left( {-1} \right)^n }} {{2^{n+1} }}\left( {x-2} \right)^n }

Berechnung des Konvergenzradius:

\rho = \frac{1} {{\lim \limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{\frac{{\left( {-1} \right)^{n+1} }} {{2^{n+2} }}}} {{\frac{{\left( {-1} \right)^n }} {{2^{n+1} }}}}} \right|}} = \frac{1} {{\lim \limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{\left( {-1} \right)^{n+1} }} {{2^{n+2} }} \cdot \frac{{2^{n+1} }} {{\left( {-1} \right)^n }}} \right|}} = \frac{1} {{\lim \limits_{n \to \infty } \left| {\frac{{-1}} {2} \cdot \frac{1} {1}} \right|}} = 2

Die Taylorreihe konvergiert also von 0 bis 4.

Als letztes berechnen wir den Grenzwert der Potenzreihe:

\sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{\left( {-1} \right)^n }} {{2^{n+1} }}\left( {x-2} \right)^n } = \frac{1} {2}\sum\limits_{n = 0}^\infty {\underbrace {\left( {\frac{{2-x}} {2}} \right)}_{ \leq 1}^n }

Wir benutzen den Grenzwert der geometrischen Reihe:

\frac{1} {2}\sum\limits_{n = 0}^\infty {\left( {\frac{{2-x}} {2}} \right)^n } = \frac{1} {2} \cdot \frac{1} {{1-\frac{{2-x}} {2}}} = \frac{1} {2} \cdot \frac{1} {{\frac{x} {2}}} = \frac{1} {x}

Die Taylorreihe konvergiert also für x ∈ (0, 4) gegen die Funktion f(x) = 1/x.