.10.1 – Schwingender Balken, nicht-standard Randbedingung

 

Für den skizzierten transversal schwingenden Kragbalken, der rechts eine ausgedehnte Zusatzmasse trägt und gefedert ist, gebe man die Determinante zur Bestimmung der Eigenwerte an. Für den Sonderfall einer konzentrierten, ungefederten Masse (ΘF = 0, c = 0 und k = 0) gebe man die charakteristische Gleichung an und ermittle numerisch die erste Eigenfrequenz für den Fall m = ρ A L.

Lösung

Eine Masse mit Ausdehnung hat ein Massenträgheitsmoment! Punktmassen nicht.

Herleitung der Differentialgleichung

Wir gehen aus von der Differentialgleichung des Balkens:

-EI_y w^{^{\prime\prime\prime\prime}}  = \rho A\ddot w

Produktansatz von Bernoulli:

w\left( {x,t} \right) = \hat w\left( x \right)T\left( t \right)

(auch in der Klausur beim ersten Mal immer aufschreiben, von welchen Variablen die Funktionen abhängen!)

Einsetzen und Separation der Variablen:

\frac{{EI_y }} {{\rho A}}\frac{{\hat w^{^{\prime\prime\prime\prime}} }} {{\hat w}} = \frac{{\ddot T}} {T}

Schlussweise von Bernoulli:

- \frac{{EI_y }} {{\rho A}}\frac{{\hat w^{^{\prime\prime\prime\prime}} }} {{\hat w}} = \frac{{\ddot T}} {T} = -\omega _j^2  = const

Dies führt auf eine Differentialgleichung vierter Ordnung bezüglich des Ortes:

\hat w^{^{\prime\prime\prime\prime}} -\left( {\frac{{\lambda _j }} {L}} \right)^4 \hat w = 0

mit

\lambda _j^4  = \frac{{\rho A}} {{EI_y }}\omega _j^2 L^4

und eine Differentialgleichung zweiter Ordnung bezüglich der Zeit:

\ddot T+\omega _j^2 T = 0

Allgemeine Lösung der Differentialgleichung

Lösungsansatz:

w\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty  {\hat w_j \left( x \right)T_j \left( t \right)}

Die einzelnen DGLs können gelöst werden durch

T_j  = A_j \cos \left( {\omega _j t} \right)+B_j \sin \left( {\omega _j t} \right)

\hat w_j  = C_{1j} \cos \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)+C_{2j} \sin \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)+C_{3j} \cosh \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)+C_{4j} \sinh \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)

In den Ansatz eingesetzt:

w\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty  {\left[ {C_{1j} \cos \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)+C_{2j} \sin \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)+C_{3j} \cosh \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)+C_{4j} \sinh \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)} \right]\left[ {A_j \cos \left( {\omega _j t} \right)+B_j \sin \left( {\omega _j t} \right)} \right]}

Gefragt ist nach der Eigenfrequenz, daher müssen die Randbedingungen einbezogen werden.

Randbedingungen

Wichtig: In der Klausur das Koordinatensystem nicht vergessen!

linkes Ende: Standard-Randbedingung “clamped”
rechtes Ende: Nicht-standard-Randbedingung: ausgedehnte Masse mit zwei Federn

wir geben zuerst die Standard-Randbedingung an:

w\left( {0,t} \right) = 0 = \sum\limits_{j = 1}^\infty  {T_j \left( t \right)\left( {C_{1j} +C_{3j} } \right)} \quad \quad  \Rightarrow \quad \quad C_{1j}  = -C_{3j}

w ^{\prime}\left( {0,t} \right) = 0 = \sum\limits_{j = 1}^\infty  {T_j \left( t \right)\frac{{\lambda _j }} {L}\left( {C_{2j} +C_{4j} } \right)\quad \quad  \Rightarrow \quad \quad C_{2j}  = -C_{4j} }

Daraus folgt für die Summenfunktion w:

w\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty  {\left\{ {C_{1j} \left[ {\cos \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)-\cosh \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)} \right]+C_{2j} \left[ {\sin \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)-\sinh \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)} \right]} \right\}\left[ {A_j \cos \left( {\omega _j t} \right)+B_j \sin \left( {\omega _j t} \right)} \right]}

nun kommen wir zur nicht-Standard-Randbedingung:

M_C  = c\alpha  = cw ^{\prime}\left( {L,t} \right)

Bilanzgleichungen

Schwerpunktsatz:

m\ddot w\left( {L,t} \right) = -F_k-Q\left( {L,t} \right) \cos \alpha

Drallsatz:

\Theta _y \ddot \alpha =  M_y \left( L, t \right)-M_c

Wir führen nun die folgenden Vereinfachungen für flache Auslenkungen ein:

\alpha  \ll 1

\sin \alpha  \approx \alpha

\tan \alpha  \approx w ^{\prime}\approx \alpha

\cos \alpha  \approx 1

Die Bilanzgleichungen werden damit zu:

Schwerpunktsatz:

m\ddot w\left( {L,t} \right) = -kw\left( {L,t} \right)-Q\left( {L,t} \right)

Drallsatz:

\Theta _y \ddot w ^{\prime}\left( {L,t} \right) =  M_y \left( {L,t} \right)-cw ^{\prime}\left( {L,t} \right)

Gleichungen für die Schnittlasten:

Q\left( {L,t} \right) = -EI_y w^{^{\prime\prime\prime}} \left( {L,t} \right)

M_y \left( {L,t} \right) = -EI_y w^{^{\prime\prime}} \left( {L,t} \right)

Einsetzen in die Bilanzgleichungen:

Schwerpunktsatz:

m\ddot w\left( {L,t} \right) = -kw\left( {L,t} \right)+EI_y w^{^{\prime\prime\prime}} \left( L, t \right)

Drallsatz:

\Theta _y \ddot w ^{\prime}\left( {L,t} \right) = -EI_y w^{^{\prime\prime}} \left( L, t \right)-cw ^{\prime}\left( {L,t} \right)

Die benötigten Ableitungen sind also:

\ddot w,\quad \ddot w ^{\prime},\quad w ^{\prime},\quad w^{^{\prime\prime}} ,\quad w^{^{\prime\prime\prime}}

Berechnung der Ableitungen

\ddot w\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty  {\hat w_j \left( x \right)\ddot T_j \left( t \right)}  = \sum\limits_{j = 1}^\infty  {-\omega _j ^2 \hat w_j \left( x \right)T_j \left( t \right)}

w ^{\prime}\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty  {\hat w_j ^{\prime}\left( x \right)T_j \left( t \right)}

w ^{\prime}\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty  {T_j \left( t \right)\frac{{\lambda _j }} {L}\left\{ {C_{1j} \left[ {-\sin \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)-\sinh \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)} \right]+C_{2j} \left[ {\cos \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)-\cosh \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)} \right]} \right\}}

w^{^{\prime\prime}} \left( {x,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty  {T_j \left( t \right)\frac{{\lambda _j^2 }} {{L^2 }}\left\{ {C_{1j} \left[ {-\cos \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)-\cosh \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)} \right]+C_{2j} \left[ {-\sin \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)-\sinh \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)} \right]} \right\}}

w^{^{\prime\prime\prime}} \left( {x,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty  {T_j \left( t \right)\frac{{\lambda _j^3 }} {{L^3 }}\left\{ {C_{1j} \left[ {\sin \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)-\sinh \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)} \right]+C_{2j} \left[ {-\cos \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)-\cosh \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)} \right]} \right\}}

\ddot w ^{\prime}  \left( {x,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty  {\hat w_j ^{\prime}  \left( x \right)\ddot T_j \left( t \right)}

\ddot w ^{\prime}  \left( {x,t} \right) = \sum\limits_{j = 1}^\infty  {-\omega _j^2 T_j \left( t \right)\frac{{\lambda _j }} {L}\left\{ {C_{1j} \left[ {-\sin \left( {\lambda _j \frac{x} {L}} \right)-\sinh \left( {\lambda _j \frac{x} {L}} \right)} \right]+C_{2j} \left[ {\cos \left( {\lambda _j \frac{x} {L}} \right)-\cosh \left( {\lambda _j \frac{x} {L}} \right)} \right]} \right\}}

In die beiden Bilanzgleichungen

m\ddot w\left( {L,t} \right) = -kw\left( {L,t} \right)+EI_y w^{^{\prime\prime\prime}} \left( {L,t} \right)

\Theta _y \ddot w ^{\prime}  \left( {L,t} \right) = -EI_y w^{^{\prime\prime}} \left( {L,t} \right)-cw ^{\prime}  \left( {L,t} \right)

eingesetzt ergibt sich dann

Schwerpunktsatz:

m\sum\limits_{j = 1}^\infty  {-\omega _j ^2 \hat w_j \left( L \right)T_j \left( t \right)}  = -k\sum\limits_{j = 1}^\infty  {\hat w_j \left( L \right)T_j \left( t \right)} +EI_y \sum\limits_{j = 1}^\infty  {\hat w_j^{^{\prime\prime\prime}} \left( L \right)T_j \left( t \right)}

Drallsatz:

\Theta _y \sum\limits_{j = 1}^\infty  {-\omega _j ^2 \hat w_j ^{\prime}  \left( L \right)T_j \left( t \right)}  = -EI_y \sum\limits_{j = 1}^\infty  {\hat w_j^{^{\prime\prime}} \left( L \right)T_j \left( t \right)} -c\sum\limits_{j = 1}^\infty  {\hat w_j ^{\prime}  \left( L \right)T_j \left( t \right)}

Was für die aufsummierten Elemente gilt, muss auch für jedes einzelne Element gelten, wir lassen daher die Summenzeichen weg. Anschließend multiplizieren wir mit -1 und stellen ein wenig um:

Schwerpunktsatz:

\omega _j ^2 m\hat w_j \left( L \right)T_j \left( t \right) = k\hat w_j \left( L \right)T_j \left( t \right)-EI_y \hat w_j^{^{\prime\prime\prime}} \left( L \right)T_j \left( t \right)

Drallsatz:

\omega _j ^2 \Theta _y \hat w_j ^{\prime}  \left( L \right)T_j \left( t \right) = EI_y \hat w_j^{^{\prime\prime}} \left( L \right)T_j \left( t \right)+c\hat w_j ^{\prime}  \left( L \right)T_j \left( t \right)

Da in jedem Summand die Zeitfunktion vorkommt, können wir diese wegkürzen:

Schwerpunktsatz:

\omega _j ^2 m\hat w_j \left( L \right) = k\hat w_j \left( L \right)-EI_y \hat w_j^{^{\prime\prime\prime}} \left( L \right)

Drallsatz:

\omega _j ^2 \Theta _y \hat w_j ^{\prime}  \left( L \right) = EI_y \hat w_j^{^{\prime\prime}} \left( L \right)+c\hat w_j ^{\prime}  \left( L \right)

Nun müssen wir die berechneten Ableitungen einsetzen. Dabei kürzen sich die für das x eingesetzten L’s weg:

Schwerpunktsatz:

\omega _j ^2 m\left\{ {C_{1j} \left[ {\cos \lambda _j -\cosh \lambda _j } \right]+C_{2j} \left[ {\sin \lambda _j -\sinh \lambda _j } \right]} \right\}

= k\left\{ {C_{1j} \left[ {\cos \lambda _j -\cosh \lambda _j } \right]+C_{2j} \left[ {\sin \lambda _j -\sinh \lambda _j } \right]} \right\}

-EI_y \frac{{\lambda _j^3 }} {{L^3 }}\left\{ {C_{1j} \left[ {\sin \lambda _j -\sinh \lambda _j } \right]+C_{2j} \left[ {-\cos \lambda _j -\cosh \lambda _j } \right]} \right\}

Drallsatz:

\omega _j ^2 \Theta _y \frac{{\lambda _j }} {L}\left\{ {C_{1j} \left[ {-\sin \lambda _j -\sinh \lambda _j } \right]+C_{2j} \left[ {\cos \lambda _j -\cosh \lambda _j } \right]} \right\}

= EI_y \frac{{\lambda _j^2 }} {{L^2 }}\left\{ {C_{1j} \left[ {-\cos \lambda _j -\cosh \lambda _j } \right]+C_{2j} \left[ {-\sin \lambda _j -\sinh \lambda _j } \right]} \right\}

+c\frac{{\lambda _j }} {L}\left\{ {C_{1j} \left[ {-\sin \lambda _j -\sinh \lambda _j } \right]+C_{2j} \left[ {\cos \lambda _j -\cosh \lambda _j } \right]} \right\}

Der Übersichtlichkeit halber ersetzen wir ab jetzt die folgenden Terme durch ihre Abkürzungen:

c = \cos \lambda _j ,\quad \quad ch = \cosh \lambda _j ,\quad \quad s = \sin \lambda _j ,\quad \quad sh = \sinh \lambda _j

Eingesetzt:

Schwerpunktsatz:

\omega _j^2 m\left\{ {C_{1j} \left[ {c-ch} \right]+C_{2j} \left[ {s-sh} \right]} \right\}-k\left\{ {C_{1j} \left[ {c-ch} \right]+C_{2j} \left[ {s-sh} \right]} \right\}+EI_y \frac{{\lambda _j^3 }} {{L^3 }}\left\{ {C_{1j} \left[ {s-sh} \right]+C_{2j} \left[ {-c-ch} \right]} \right\} = 0

Drallsatz:

\omega _j^2 \Theta _y \frac{{\lambda _j }} {L}\left\{ {C_{1j} \left[ {-s-sh} \right]+C_{2j} \left[ {c-ch} \right]} \right\}-EI_y \frac{{\lambda _j^2 }} {{L^2 }}\left\{ {C_{1j} \left[ {-c-ch} \right]+C_{2j} \left[ {-s-sh} \right]} \right\}-c_F \frac{{\lambda _j }} {L}\left\{ {C_{1j} \left[ {-s-sh} \right]+C_{2j} \left[ {c-ch} \right]} \right\} = 0

Dies müssen wir nun zu einem Gleichungssystem umformen:

Schwerpunktsatz:

C_{1j} \left[ {c-ch} \right]\omega _j^2 m+C_{2j} \left[ {s-sh} \right]\omega _j^2 m-C_{1j} k\left[ {c-ch} \right]-C_{2j} k\left[ {s-sh} \right]+C_{1j} EI_y \frac{{\lambda _j^3 }} {{L^3 }}\left[ {s-sh} \right]+C_{2j} EI_y \frac{{\lambda _j^3 }} {{L^3 }}\left[ {-c-ch} \right] = 0

\left\{ {\left[ {c-ch} \right]\omega _j^2 m-k\left[ {c-ch} \right]+EI_y \frac{{\lambda _j^3 }} {{L^3 }}\left[ {s-sh} \right]} \right\}C_{1j} +\left\{ {\left[ {s-sh} \right]\omega _j^2 m-k\left[ {s-sh} \right]+EI_y \frac{{\lambda _j^3 }} {{L^3 }}\left[ {-c-ch} \right]} \right\}C_{2j}  = 0

\left\{ {\left[ {\omega _j^2 m-k} \right]\left[ {c-ch} \right]+EI_y \frac{{\lambda _j^3 }} {{L^3 }}\left[ {s-sh} \right]} \right\}C_{1j} +\left\{ {\left[ {\omega _j^2 m-k} \right]\left[ {s-sh} \right]+EI_y \frac{{\lambda _j^3 }} {{L^3 }}\left[ {-c-ch} \right]} \right\}C_{2j}  = 0

Drallsatz:

C_{1j} \omega _j^2 \Theta _y \frac{{\lambda _j }} {L}\left[ {-s-sh} \right]+C_{2j} \omega _j^2 \Theta _y \frac{{\lambda _j }} {L}\left[ {c-ch} \right]-C_{1j} EI_y \frac{{\lambda _j^2 }} {{L^2 }}\left[ {-c-ch} \right]

-C_{2j} EI_y \frac{{\lambda _j^2 }} {{L^2 }}\left[ {-s-sh} \right]-C_{1j} c_F \frac{{\lambda _j }} {L}\left[ {-s-sh} \right]-C_{2j} c_F \frac{{\lambda _j }} {L}\left[ {c-ch} \right] = 0

\Rightarrow \quad \left\{ {\omega _j^2 \Theta _y \frac{{\lambda _j }} {L}\left[ {-s-sh} \right]-EI_y \frac{{\lambda _j^2 }} {{L^2 }}\left[ {-c-ch} \right]-c_F \frac{{\lambda _j }} {L}\left[ {-s-sh} \right]} \right\}C_{1j}

+\left\{ {\omega _j^2 \Theta _y \frac{{\lambda _j }} {L}\left[ {c-ch} \right]-EI_y \frac{{\lambda _j^2 }} {{L^2 }}\left[ {-s-sh} \right]-c_F \frac{{\lambda _j }} {L}\left[ {c-ch} \right]} \right\}C_{2j}  = 0

\Rightarrow \quad \left\{ {\left[ {\omega _j^2 \Theta _y -c_F } \right]\left[ {-s-sh} \right]-EI_y \frac{{\lambda _j }} {L}\left[ {-c-ch} \right]} \right\}C_{1j} +\left\{ {\left[ {\omega _j^2 \Theta _y -c_F } \right]\left[ {c-ch} \right]-EI_y \frac{{\lambda _j }} {L}\left[ {-s-sh} \right]} \right\}C_{2j}  = 0

In Matrixschreibweise zusammengefasst:

\left( {\begin{array}{*{20}{c}}    \left[ {\omega _j^2 m-k} \right]\left[ {c-ch} \right]+EI_y \frac{{\lambda _j^3 }} {{L^3 }}\left[ {s-sh} \right] & {\left[ {\omega _j^2 m-k} \right]\left[ {s-sh} \right]+EI_y \frac{{\lambda _j^3 }} {{L^3 }}\left[ {-c-ch} \right]}  \\    {\left[ {\omega _j^2 \Theta _y -c_F } \right]\left[ {-s-sh} \right]-EI_y \frac{{\lambda _j }} {L}\left[ {-c-ch} \right]} & {\left[ {\omega _j^2 \Theta _y -c_F } \right]\left[ {c-ch} \right]-EI_y \frac{{\lambda _j }} {L}\left[ {-s-sh} \right]}  \\   \end{array} } \right)\left( {\begin{array}{*{20}{c}}    C_{1j}   \\    {C_{2j} }  \\   \end{array} } \right)

= 0

Dies ist erfüllt bei der trivialen Lösung C1j = C2j = 0. Für die nichttriviale Lösung muss die Determinante der Matrix null werden. In der Matrix ist die Eigenkreisfrequenz des Kragbalkens noch unbekannt. Um auf die Eigenwerte zu kommen, muss das ωj eliminiert werden.
Aus der Schlussweise von Bernoulli ist bekannt:

\omega _j^2  = \frac{{EI_y }} {{\rho A}}\frac{{\hat w^{^{\prime\prime\prime\prime}} \left( x \right)}} {{\hat w\left( x \right)}}

Wir setzen die Ableitungen ein und erhalten:

\omega _j^2  = \frac{{EI_y }} {{\rho A}}\frac{{\hat w^{^{\prime\prime\prime\prime}} \left( x \right)}} {{\hat w\left( x \right)}} = \frac{{EI_y }} {{\rho A}}\frac{{\frac{{\lambda _j^4 }} {{L^4 }}\left\{ {C_{1j} \left[ {\cos \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)-\cosh \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)} \right]+C_{2j} \left[ {\sin \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)-\sinh \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)} \right]} \right\}}} {{C_{1j} \left[ {\cos \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)-\cosh \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)} \right]+C_{2j} \left[ {\sin \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)-\sinh \left( {\lambda \frac{x} {L}} \right)} \right]}}

\omega _j^2  = \frac{{EI_y \lambda _j^4 }} {{\rho AL^4 }}

Das Volumen des Stabes ist die Querschnittsfläche multipliziert mit der Länge:

\omega _j^2  = \frac{{EI_y \lambda _j^4 }} {{\rho VL^3 }}

Die Masse des Stabes ist seine Dichte multipliziert mit seinem Volumen:

\omega _j^2  = \frac{{EI_y \lambda _j^4 }} {{m_{St} L^3 }}

Dies setzen wir nun in die Matrix ein und bilden die Determinante.

\left| {\begin{array}{*{20}{c}}    \left[ {\frac{{EI_y \lambda _j^4 }} {{m_{St} L^3 }}m-k} \right]\left[ {c-ch} \right]+EI_y \frac{{\lambda _j^3 }} {{L^3 }}\left[ {s-sh} \right] & {\left[ {\frac{{EI_y \lambda _j^4 }} {{m_{St} L^3 }}m-k} \right]\left[ {s-sh} \right]+EI_y \frac{{\lambda _j^3 }} {{L^3 }}\left[ {-c-ch} \right]}  \\    {\left[ {\frac{{EI_y \lambda _j^4 }} {{m_{St} L^3 }}\Theta _y -c_F } \right]\left[ {-s-sh} \right]-EI_y \frac{{\lambda _j }} {L}\left[ {-c-ch} \right]} & {\left[ {\frac{{EI_y \lambda _j^4 }} {{m_{St} L^3 }}\Theta _y -c_F } \right]\left[ {c-ch} \right]-EI_y \frac{{\lambda _j }} {L}\left[ {-s-sh} \right]}  \\   \end{array} } \right|

= 0

Umformungen in der oberen Zeile liefern:

\left| {\begin{array}{*{20}{c}}    -k\left[ {c-ch} \right]+EI_y \frac{{\lambda _j^3 }} {{L^3 }}\left( {\lambda _j \frac{m} {{m_{St} }}\left[ {c-ch} \right]+s-sh} \right) & {-k\left[ {s-sh} \right]+EI_y \frac{{\lambda _j^3 }} {{L^3 }}\left( {\lambda _j \frac{m} {{m_{St} }}\left[ {s-sh} \right]-c-ch} \right)}  \\    {\left[ {\frac{{EI_y \lambda _j^4 }} {{m_{St} L^3 }}\Theta _y -c_F } \right]\left[ {-s-sh} \right]-EI_y \frac{{\lambda _j }} {L}\left[ {-c-ch} \right]} & {\left[ {\frac{{EI_y \lambda _j^4 }} {{m_{St} L^3 }}\Theta _y -c_F } \right]\left[ {c-ch} \right]-EI_y \frac{{\lambda _j }} {L}\left[ {-s-sh} \right]}  \\   \end{array} } \right|

= 0

Berechnung von λ1

Hier können wir die in der Aufgabenstellung angegebenen Vereinfachungen treffen:

k = 0,\quad \quad c_F  = 0,\quad \quad \Theta _Y  = 0

In die Determinante eingesetzt vereinfacht sich die Berechnung erheblich:

\left| {\begin{array}{*{20}{c}}    -0\left[ {c-ch} \right]+EI_y \frac{{\lambda _j^3 }} {{L^3 }}\left( {\lambda _j \frac{m} {{m_{St} }}\left[ {c-ch} \right]+s-sh} \right) & {-0\left[ {s-sh} \right]+EI_y \frac{{\lambda _j^3 }} {{L^3 }}\left( {\lambda _j \frac{m} {{m_{St} }}\left[ {s-sh} \right]-c-ch} \right)}  \\    {\left[ {0\frac{{EI_y \lambda _j^4 }} {{m_{St} L^3 }}-c_F } \right]\left[ {-s-sh} \right]-EI_y \frac{{\lambda _j }} {L}\left[ {-c-ch} \right]} & {\left[ {0\frac{{EI_y \lambda _j^4 }} {{m_{St} L^3 }}-0} \right]\left[ {c-ch} \right]-EI_y \frac{{\lambda _j }} {L}\left[ {-s-sh} \right]}  \\   \end{array} } \right|

= 0

\left| {\begin{array}{*{20}{c}}    EI_y \frac{{\lambda _j^3 }} {{L^3 }}\left( {\lambda _j \frac{m} {{m_{St} }}\left[ {c-ch} \right]+s-sh} \right) & {EI_y \frac{{\lambda _j^3 }} {{L^3 }}\left( {\lambda _j \frac{m} {{m_{St} }}\left[ {s-sh} \right]-c-ch} \right)}  \\    {-EI_y \frac{{\lambda _j }} {L}\left[ {-c-ch} \right]} & {-EI_y \frac{{\lambda _j }} {L}\left[ {-s-sh} \right]}  \\   \end{array} } \right| = 0

An dieser Stelle nutzen wir nun eine Eigenschaft der Determinante aus: Die Determinante ist eine alternierende Multilinearform in den Zeilen und Spalten einer quadratischen Matrix, normiert durch det I = 1.
Alternierend: Werden zwei Zeilen getauscht, ändert die det das Vorzeichen.
Multilinear: Bei Berechnungen ist die det immer nur in EINER Zeile ODER Spalte linear:

\left| {\begin{array}{*{20}{c}}    \alpha +\alpha  ^{\prime}  & {\beta +\beta  ^{\prime} }  \\    \gamma  & \delta   \\   \end{array} } \right| = \left( {\alpha +\alpha  ^{\prime} } \right) \cdot \delta -\left( {\beta +\beta  ^{\prime} } \right) \cdot \gamma  = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}    \alpha  & \beta   \\    \gamma  & \delta   \\   \end{array} } \right|+\left| {\begin{array}{*{20}{c}}    \alpha  ^{\prime}  & {\beta  ^{\prime} }  \\    \gamma  & \delta   \\   \end{array} } \right|

\left| {\begin{array}{*{20}{c}}    \lambda \alpha  & {\lambda \beta }  \\    \gamma  & \delta   \\   \end{array} } \right| = \lambda \left| {\begin{array}{*{20}{c}}    \alpha  & \beta   \\    \gamma  & \delta   \\   \end{array} } \right|

Angewandt auf unsere Determinante bedeutet das, das wir in der ersten Zeile gleichen Faktoren ausklammern und vor die Determinante ziehen können:

EI_y \frac{{\lambda _j^3 }} {{L^3 }}\left| {\begin{array}{*{20}{c}}    \left( {\lambda _j \frac{m} {{m_{St} }}\left[ {c-ch} \right]+s-sh} \right) & {\left( {\lambda _j \frac{m} {{m_{St} }}\left[ {s-sh} \right]-c-ch} \right)}  \\    {-EI_y \frac{{\lambda _j }} {L}\left[ {-c-ch} \right]} & {-EI_y \frac{{\lambda _j }} {L}\left[ {-s-sh} \right]}  \\   \end{array} } \right| = 0

Da die rechte Seite = 0 ist, teilen wir durch den herausgezogenen Faktor. Ebenso verfahren wir mit der zweiten Zeile:

\left| {\begin{array}{*{20}{c}}    \lambda _j \frac{m} {{m_{St} }}\left[ {c-ch} \right]+s-sh & {\lambda _j \frac{m} {{m_{St} }}\left[ {s-sh} \right]-c-ch}  \\    {-c-ch} & {-s-sh}  \\   \end{array} } \right| = 0

Eigenwertgleichung

Die Eigenwertgleichung ergibt sich, wenn wir die Determinante ausmultiplizieren:

\left( {\lambda _j \frac{m} {{m_{St} }}\left[ {c-ch} \right]+s-sh} \right)\left( {-s-sh} \right)-\left( {\lambda _j \frac{m} {{m_{St} }}\left[ {s-sh} \right]-c-ch} \right)\left( {-c-ch} \right)

= 0

Ausmultiplizieren:

-s\lambda _j \frac{m} {{m_{St} }}\left[ {c-ch} \right]-s^2 +s \cdot sh-sh\lambda _j \frac{m} {{m_{St} }}\left[ {c-ch} \right]-s \cdot sh+sh^2

+c\lambda _j \frac{m} {{m_{St} }}\left[ {s-sh} \right]-c^2 -c \cdot ch+ch\lambda _j \frac{m} {{m_{St} }}\left[ {s-sh} \right]-c \cdot ch-ch^2  = 0

Zusammenfassen:

-\lambda _j \frac{m} {{m_{St} }}\left[ {c-ch} \right]\left( {s+sh} \right)-s^2 +sh^2 +\lambda _j \frac{m} {{m_{St} }}\left[ {s-sh} \right]\left( {c+ch} \right)-\left( {c+ch} \right)^2  = 0

sh^2 -s^2 -\left( {c+ch} \right)^2 -\lambda _j \frac{m} {{m_{St} }}\left( {\left[ {c-ch} \right]\left( {s+sh} \right)+\left[ {s-sh} \right]\left( {c+ch} \right)} \right) = 0

Dies lässt sich umformen zu:

1+\cos \left( {\lambda _j } \right)\cosh \left( {\lambda _j } \right)+\lambda _j \frac{m} {{m_{St} }}\left( {\sinh \left( {\lambda _j } \right)\cos \left( {\lambda _j } \right)-\cosh \left( {\lambda _j } \right)\sin \left( {\lambda _j } \right)} \right) = 0

Die Lösung der Gleichung lässt sich nur numerisch bestimmen. Für m = mst folgt:

\lambda _1  = 1,248