Für den skizzierten transversal schwingenden Kragbalken, der rechts eine ausgedehnte Zusatzmasse trägt und gefedert ist, gebe man die Determinante zur Bestimmung der Eigenwerte an. Für den Sonderfall einer konzentrierten, ungefederten Masse (ΘF = 0, c = 0 und k = 0) gebe man die charakteristische Gleichung an und ermittle numerisch die erste Eigenfrequenz für den Fall m = ρ A L.
Lösung
Eine Masse mit Ausdehnung hat ein Massenträgheitsmoment! Punktmassen nicht.
Herleitung der Differentialgleichung
Wir gehen aus von der Differentialgleichung des Balkens:
Produktansatz von Bernoulli:
(auch in der Klausur beim ersten Mal immer aufschreiben, von welchen Variablen die Funktionen abhängen!)
Einsetzen und Separation der Variablen:
Schlussweise von Bernoulli:
Dies führt auf eine Differentialgleichung vierter Ordnung bezüglich des Ortes:
mit
und eine Differentialgleichung zweiter Ordnung bezüglich der Zeit:
Allgemeine Lösung der Differentialgleichung
Lösungsansatz:
Die einzelnen DGLs können gelöst werden durch
In den Ansatz eingesetzt:
Gefragt ist nach der Eigenfrequenz, daher müssen die Randbedingungen einbezogen werden.
Randbedingungen
Wichtig: In der Klausur das Koordinatensystem nicht vergessen!
linkes Ende: Standard-Randbedingung “clamped”
rechtes Ende: Nicht-standard-Randbedingung: ausgedehnte Masse mit zwei Federn
wir geben zuerst die Standard-Randbedingung an:
Daraus folgt für die Summenfunktion w:
nun kommen wir zur nicht-Standard-Randbedingung:
Bilanzgleichungen
Schwerpunktsatz:
Drallsatz:
Wir führen nun die folgenden Vereinfachungen für flache Auslenkungen ein:
Die Bilanzgleichungen werden damit zu:
Schwerpunktsatz:
Drallsatz:
Gleichungen für die Schnittlasten:
Einsetzen in die Bilanzgleichungen:
Schwerpunktsatz:
Drallsatz:
Die benötigten Ableitungen sind also:
Berechnung der Ableitungen
In die beiden Bilanzgleichungen
eingesetzt ergibt sich dann
Schwerpunktsatz:
Drallsatz:
Was für die aufsummierten Elemente gilt, muss auch für jedes einzelne Element gelten, wir lassen daher die Summenzeichen weg. Anschließend multiplizieren wir mit -1 und stellen ein wenig um:
Schwerpunktsatz:
Drallsatz:
Da in jedem Summand die Zeitfunktion vorkommt, können wir diese wegkürzen:
Schwerpunktsatz:
Drallsatz:
Nun müssen wir die berechneten Ableitungen einsetzen. Dabei kürzen sich die für das x eingesetzten L’s weg:
Schwerpunktsatz:
Drallsatz:
Der Übersichtlichkeit halber ersetzen wir ab jetzt die folgenden Terme durch ihre Abkürzungen:
Eingesetzt:
Schwerpunktsatz:
Drallsatz:
Dies müssen wir nun zu einem Gleichungssystem umformen:
Schwerpunktsatz:
Drallsatz:
In Matrixschreibweise zusammengefasst:
Dies ist erfüllt bei der trivialen Lösung C1j = C2j = 0. Für die nichttriviale Lösung muss die Determinante der Matrix null werden. In der Matrix ist die Eigenkreisfrequenz des Kragbalkens noch unbekannt. Um auf die Eigenwerte zu kommen, muss das ωj eliminiert werden.
Aus der Schlussweise von Bernoulli ist bekannt:
Wir setzen die Ableitungen ein und erhalten:
Das Volumen des Stabes ist die Querschnittsfläche multipliziert mit der Länge:
Die Masse des Stabes ist seine Dichte multipliziert mit seinem Volumen:
Dies setzen wir nun in die Matrix ein und bilden die Determinante.
Umformungen in der oberen Zeile liefern:
Berechnung von λ1
Hier können wir die in der Aufgabenstellung angegebenen Vereinfachungen treffen:
In die Determinante eingesetzt vereinfacht sich die Berechnung erheblich:
An dieser Stelle nutzen wir nun eine Eigenschaft der Determinante aus: Die Determinante ist eine alternierende Multilinearform in den Zeilen und Spalten einer quadratischen Matrix, normiert durch det I = 1.
Alternierend: Werden zwei Zeilen getauscht, ändert die det das Vorzeichen.
Multilinear: Bei Berechnungen ist die det immer nur in EINER Zeile ODER Spalte linear:
Angewandt auf unsere Determinante bedeutet das, das wir in der ersten Zeile gleichen Faktoren ausklammern und vor die Determinante ziehen können:
Da die rechte Seite = 0 ist, teilen wir durch den herausgezogenen Faktor. Ebenso verfahren wir mit der zweiten Zeile:
Eigenwertgleichung
Die Eigenwertgleichung ergibt sich, wenn wir die Determinante ausmultiplizieren:
Ausmultiplizieren:
Zusammenfassen:
Dies lässt sich umformen zu:
Die Lösung der Gleichung lässt sich nur numerisch bestimmen. Für m = mst folgt: