10.2 – Biegelinie eines Balkens

 

Für das skizzierte System bestimme man die Biegelinie. Zur Beschreibung sollen die eingeführten Koordinaten verwendet werden.

Gegeben:

l, q0, EI=const

Lösung

Die Material- und Strukturgleichung des Balkens lautet:

EI\omega ^{\prime\prime}\left( x \right) = -M\left( x \right)

In diesem Fall ist das Problem statisch unbestimmt, wir müssen daher das Moment ersetzen:

M^{\prime}\left( x \right) = Q\left( x \right)

Q^{\prime}\left( x \right) = -q\left( x \right)

M^{\prime\prime}\left( x \right) = -q\left( x \right)

In der Material- und Strukturgleichung kommt aber nicht die zweite Ableitung des Momentes vor, sondern das Moment selbst. Wir müssen die Material- und Strukturgleichung daher noch zwei Mal ableiten:

EI\omega ^{\prime\prime}\left( x \right) = -M\left( x \right)\quad \quad  \Rightarrow \quad \quad EI\omega ^{\prime\prime\prime}\left( x \right) = -M^{\prime}\left( x \right)\quad \quad  \Rightarrow \quad \quad EI\omega ^{\prime\prime\prime\prime}\left( x \right) = -M^{\prime\prime}\left( x \right)

Nun setzen wir ein:

EI\omega ^{\prime\prime\prime\prime}\left( x \right) = -M^{\prime\prime}\left( x \right)\quad \quad  \Rightarrow \quad \quad EI\omega ^{\prime\prime\prime\prime}\left( x \right) = q\left( x \right)

Nun teilen wir das System in eine linke und eine rechte Hälfte. Links ist die Funktion der Streckenlast q(x) gegeben durch den linearen Zusammenhang:

q\left( x \right) = q_0 \frac{{x_1 }} {l}

Rechts ist die Streckenlast konstant und gegeben durch die Funktion:

q\left( x \right) = q_0

Nun setzen wir in die Gleichung für die linke Seite ein:

EI\omega _l ^{\prime\prime\prime\prime}\left( {x_1 } \right) = q_0 \frac{{x_1 }} {l}

Hier müssen wir ωl schreiben, da die Funktion nur für die linke Seite definiert ist. Es wird also nicht eine Funktion gesucht, die die gesamte Biegelinie interpoliert, sondern mehrere Funktionen (in diesem Fall 2) für die einzelnen Intervalle. Intervallgrenzen sind immer bei Änderungen der Streckenlastfunktion.

Wir haben nun die vierte Ableitung der gesuchten Funktion. Daher müssen wir vier mal integrieren, um die Funktion selbst zu erhalten:

EI\omega _l ^{\prime\prime\prime\prime}\left( {x_1 } \right) = q_0 \frac{{x_1 }} {l}

EI\omega _l ^{\prime\prime\prime}\left( {x_1 } \right) = q_0 \frac{{x_1 ^2 }} {{2l}}+C_1

EI\omega _l ^{\prime\prime}\left( {x_1 } \right) = q_0 \frac{{x_1 ^3 }} {{6l}}+C_1 x_1 +C_2

EI\omega _l ^{\prime}\left( {x_1 } \right) = q_0 \frac{{x_1 ^4 }} {{24l}}+\frac{{C_1 }} {2}x_1 ^2 +C_2 x_1 +C_3

EI\omega _l \left( {x_1 } \right) = q_0 \frac{{x_1 ^5 }} {{120l}}+\frac{{C_1 }} {6}x_1 ^3 +\frac{{C_2 }} {2}x_1 ^2 +C_3 x_1 +C_4

Und für die rechte Hälfte:

EI\omega _r ^{\prime\prime\prime\prime}\left( {x_2 } \right) = q_0

EI\omega _r ^{\prime\prime\prime}\left( {x_2 } \right) = q_0 x_2 +D_1

EI\omega _r ^{\prime\prime}\left( {x_2 } \right) = \frac{{q_0 }} {2}x_2 ^2 +D_1 x_2 +D_2

EI\omega _r ^{\prime}\left( {x_2 } \right) = \frac{{q_0 }} {6}x_2 ^3 +\frac{{D_1 }} {2}x_2 ^2 +D_2 x_2 +D_3

EI\omega _r \left( {x_2 } \right) = \frac{{q_0 }} {{24}}x_2 ^4 +\frac{{D_1 }} {6}x_2 ^3 +\frac{{D_2 }} {2}x_2 ^2 +D_3 x_2 +D_4

Wir müssen nun also die acht (!) Integrationskonstanten bestimmen.
Dafür suchen wir uns 8 Bedingungen, nämlich 4 Randbedingungen und 4 Kompatibilitätsbedingungen.

Randbedingungen
Am Anfang und am Ende des Balkens tritt keine Biegung auf, da der Balken ja an der Wand fest ist.
Auch die erste Ableitung der Biegung ist am Rand gleich 0. Das liegt am Typ der Lagerung.
In diesem Fall ist der Balken direkt an den Wänden so fixiert, dass er senkrecht darauf steht.
Die daraus folgenden Randbedingungen:

\omega _l \left( 0 \right) = 0\quad \quad  \Rightarrow \quad \quad q_0 \frac{0} {{120l}}+\frac{{C_1 }} {6}0+\frac{{C_2 }} {2}0+C_3 0+C_4  = 0\quad \quad  \Rightarrow \quad \quad C_4  = 0

\omega _l ^{\prime}\left( 0 \right) = 0\quad \quad  \Rightarrow \quad \quad q_0 \frac{0} {{24l}}+\frac{{C_1 }} {2}0+C_2 0+C_3  = 0\quad \quad  \Rightarrow \quad \quad C_3  = 0

\omega _r \left( l \right) = 0\quad \quad  \Rightarrow \quad \quad \frac{{q_0 }} {{24}}l^4 +D_1 \frac{{l^3 }} {6}+D_2 \frac{{l^2 }} {2}+D_3 l+D_4  = 0

\omega _r ^{\prime}\left( l \right) = 0\quad \quad  \Rightarrow \quad \quad \frac{{q_0 }} {6}l^3 +D_1 \frac{{l^2 }} {2}+D_2 l+D_3  = 0

Kompatibilitätsbedingungen
In der Mitte müssen die Funktionen genau ineinander übergehen. Wenn sie nur im Funktionswert übereinstimmen, könnte die Biegelinie einen Knick haben. Wenn auch die Ableitung stimmt, könnte sich immernoch die Krümmung unterscheiden. Es müssen also für einen “glatten” Übergang folgende Kompatibilitätsbedingungen gelten:

\omega _l \left( l \right) = \omega _r \left( 0 \right)\quad \quad  \Rightarrow \quad \quad q_0 \frac{{l^4 }} {{120}}+C_1 \frac{{l^3 }} {6}+C_2 \frac{{l^2 }} {2} = D_4

\omega _l ^{\prime}\left( l \right) = \omega _r ^{\prime}\left( 0 \right)\quad \quad  \Rightarrow \quad \quad q_0 \frac{{l^3 }} {{24}}+C_1 \frac{{l^2 }} {2}+C_2 l = D_3

\omega _l ^{\prime\prime}\left( l \right) = \omega _r ^{\prime\prime}\left( 0 \right)\quad \quad  \Rightarrow \quad \quad q_0 \frac{{l^2 }} {6}+C_1 l+C_2  = D_2

\omega _l ^{\prime\prime\prime}\left( l \right) = \omega _r ^{\prime\prime\prime}\left( 0 \right)\quad \quad  \Rightarrow \quad \quad q_0 \frac{l} {2}+C_1  = D_1

Die Gleichungen sind günstigerweise direkt nach den Konstanten Di aufgelöst, wir müssen sie also nur noch in die beiden Randbedingungen einsetzen, in denen die Ds vorkommen und vereinfachen:

0 = \frac{{q_0 }} {{24}}l^4 +D_1 \frac{{l^3 }} {6}+D_2 \frac{{l^2 }} {2}+D_3 l+D_4

0 = \frac{{q_0 }} {{24}}l^4 +\left( {q_0 \frac{l} {2}+C_1 } \right)\frac{{l^3 }} {6}+\left( {q_0 \frac{{l^2 }} {6}+C_1 l+C_2 } \right)\frac{{l^2 }} {2}+\left( {q_0 \frac{{l^3 }} {{24}}+C_1 \frac{{l^2 }} {2}+C_2 l} \right)l

+\left( {q_0 \frac{{l^4 }} {{120}}+C_1 \frac{{l^3 }} {6}+C_2 \frac{{l^2 }} {2}} \right)

0 = \frac{{q_0 }} {{24}}l^4 +q_0 \frac{{l^4 }} {{12}}+C_1 \frac{{l^3 }} {6}+q_0 \frac{{l^4 }} {{12}}+C_1 \frac{{l^3 }} {2}+C_2 \frac{{l^2 }} {2}+q_0 \frac{{l^4 }} {{24}}+C_1 \frac{{l^3 }} {2}+C_2 l^2

+q_0 \frac{{l^4 }} {{120}}+C_1 \frac{{l^3 }} {6}+C_2 \frac{{l^2 }} {2}

0 = q_0 l^4 \left( {\frac{1} {{24}}+\frac{1} {{12}}+\frac{1} {{12}}+\frac{1} {{24}}+\frac{1} {{120}}} \right)+C_1 l^3 \left( {\frac{1} {6}+\frac{1} {2}+\frac{1} {2}+\frac{1} {6}} \right)+C_2 l^2 \left( {\frac{1} {2}+1+\frac{1} {2}} \right)

0 = \frac{{31}} {{120}}q_0 l^2 +\frac{4} {3}C_1 l+2C_2

Die andere Gleichung:

0 = \frac{{q_0 }} {6}l^3 +D_1 \frac{{l^2 }} {2}+D_2 l+D_3

0 = \frac{{q_0 }} {6}l^3 +\left( {q_0 \frac{l} {2}+C_1 } \right)\frac{{l^2 }} {2}+\left( {q_0 \frac{{l^2 }} {6}+C_1 l+C_2 } \right)l+\left( {q_0 \frac{{l^3 }} {{24}}+C_1 \frac{{l^2 }} {2}+C_2 l} \right)

0 = \frac{{q_0 }} {6}l^3 +q_0 \frac{{l^3 }} {4}+C_1 \frac{{l^2 }} {2}+q_0 \frac{{l^3 }} {6}+C_1 l^2 +C_2 l+q_0 \frac{{l^3 }} {{24}}+C_1 \frac{{l^2 }} {2}+C_2 l

0 = q_0 l^3 \left( {\frac{1} {6}+\frac{1} {4}+\frac{1} {6}+\frac{1} {{24}}} \right)+C_1 l^2 \left( {\frac{1} {2}+1+\frac{1} {2}} \right)+C_2 l\left( {1+1} \right)

0 = q_0 l^3 \left( {\frac{1} {6}+\frac{1} {4}+\frac{1} {6}+\frac{1} {{24}}} \right)+C_1 l^2 \left( {\frac{1} {2}+1+\frac{1} {2}} \right)+C_2 l\left( {1+1} \right)

0 = \frac{5} {8}q_0 l^2 +2C_1 l+2C_2

Die so erhaltenen Gleichungen sind beide =0 und enthalten den Summanden 2C2, daher können wir sie gleichsetzen, so dass C2 wegfällt:

\frac{{31}} {{120}}q_0 l^2 +\frac{4} {3}C_1 l+2C_2  = \frac{5} {8}q_0 l^2 +2C_1 l+2C_2

\frac{{31}} {{120}}q_0 l^2 +\frac{4} {3}C_1 l = \frac{5} {8}q_0 l^2 +2C_1 l

\left( {\frac{{31}} {{120}}-\frac{5} {8}} \right)q_0 l^2  = C_1 l\left( {2-\frac{4} {3}} \right)

-\frac{{11}} {{30}}q_0 l = \frac{2} {3}C_1

C_1  = -\frac{{33}} {{60}} = -\frac{{11}} {{20}}q_0 l

Für C2 setzen wir das eben berechnete C1 oben ein:

0 = \frac{5} {8}q_0 l^2 +2\left( {-\frac{{11}} {{20}}q_0 l} \right)l+2C_2

-\frac{5} {8}q_0 l^2 +\frac{{22}} {{20}}lq_0 l = 2C_2

-\frac{5} {{16}}q_0 l^2 +\frac{{11}} {{20}}q_0 l^2  = C_2

\frac{{19}} {{80}}q_0 l^2  = C_2

Nun sind alle Parameter für die linke Funktion bekannt. Mit Hilfe der Kompatibilitätsbedingungen berechnen wir noch die Parameter für die rechte Funktion:

q_0 \frac{l} {2}+C_1  = D_1  = q_0 l\frac{1} {2}-\frac{{11}} {{20}}q_0 l\quad \quad  \Rightarrow \quad \quad D_1  = -\frac{1} {{20}}q_0 l

q_0 \frac{{l^2 }} {6}+C_1 l+C_2  = D_2  = q_0 l^2 \frac{1} {6}-\frac{{11}} {{20}}q_0 l^2 +\frac{{19}} {{80}}q_0 l^2 \quad \quad  \Rightarrow \quad \quad D_2  = -\frac{7} {{48}}q_0 l^2

q_0 \frac{{l^3 }} {{24}}+C_1 \frac{{l^2 }} {2}+C_2 l = D_3  = q_0 l^3 \frac{1} {{24}}-\frac{{11}} {{40}}q_0 l^3 +\frac{{19}} {{80}}q_0 l^3 \quad \quad  \Rightarrow \quad \quad D_3  = \frac{1} {{240}}q_0 l^3

q_0 \frac{{l^4 }} {{120}}+C_1 \frac{{l^3 }} {6}+C_2 \frac{{l^2 }} {2} = D_4  = q_0 l^4 \frac{1} {{120}}-\frac{{11}} {{120}}q_0 l^4 +\frac{{19}} {{160}}q_0 l^4 \quad   \Rightarrow  \quad D_4  = \frac{{17}} {{480}}q_0 l^4

Die beiden resultierenden Funktionen sind also:

\omega _l \left( {x_1 } \right) = \frac{{q_0 l^4 }} {{480 \cdot EI}}\left( {4\left( {\frac{{x_1 }} {l}} \right)^5 -44\left( {\frac{{x_1 }} {l}} \right)^3 +57\left( {\frac{{x_1 }} {l}} \right)^2 } \right)

\omega _r \left( {x_2 } \right) = \frac{{q_0 l^4 }} {{480 \cdot EI}}\left( {20\left( {\frac{{x_2 }} {l}} \right)^4 -4\left( {\frac{{x_2 }} {l}} \right)^3 -35\left( {\frac{{x_2 }} {l}} \right)^2 +2\left( {\frac{{x_2 }} {l}} \right)+17} \right)