11 – Dämpfung 06 – Resonanzkurve des Schwingweges

Im Artikel über angeregte Schwingungen bei schwacher Dämpfung haben wir die Bewegungsgleichung der schwingenden Masse bestimmt:

$x_p = \frac{{\frac{{\hat F}} {m}}} {{\left( {\omega _1^2 -\Omega ^2 } \right)^2 +\left( {2\delta \Omega } \right)^2 }}\left[ {\left( {\omega _1^2 -\Omega ^2 } \right)\cos \Omega t+2\delta \Omega \sin \Omega t} \right]$

Oder vereinfacht:

$x_p = K\left[ {D\cos \Omega t+E\sin \Omega t} \right]$

Von dieser Funktion suchen wir nun die Amplitude, also die Maxima.

Dies ließe sich mit einer Kurvendiskussion lösen, wir müssten also die Funktion ableiten, die Ableitung gleich 0 setzen, nach t auflösen und die gefundene Extremstelle in die Funktion für x einsetzen.
Da uns die Position der Maxima aber nicht interessiert, sondern nur die Höhe, nutzen wir einen wichtigen trigonometrischen Zusammenhang: Das Maximum einer Funktion mit dem Aufbau

$f\left( x \right) = A\sin x+B\cos x$

beträgt:

$\hat f = \sqrt {A^2 +B^2 }$

Hier ein Beispiel:

Summenfunktion aus Sinus und Cosinus

rot: 3 sin x
gelb: 4 cos x
blau: 3 sin x+4 cos x

Die Sinusfunktion hat Maxima der Höhe 3, die Cosinusfunktion hat Maxima der Höhe 4.
Die Maxima der Summenfunktion haben die Höhe

$\hat f = \sqrt {3^2 +4^2 } = 5$

Angewendet auf unsere Schwingungsfunktion:

$x_p \left( t \right) = K\left[ {D\cos \Omega t+E\sin \Omega t} \right]$

$\hat x_p = K\sqrt {D^2 +E^2 }$

Wenn man die Konstanten ausführlich schreibt, wird dies zu

$\hat x_p = \frac{{\frac{{\hat F}} {m}\sqrt {\left( {\omega _1^2 -\Omega ^2 } \right)^2 +\left( {2\delta \Omega } \right)^2 } }} {{\left( {\omega _1^2 -\Omega ^2 } \right)^2 +\left( {2\delta \Omega } \right)^2 }} = \frac{{\frac{{\hat F}} {m}}} {{\sqrt {\left( {\omega _1^2 -\Omega ^2 } \right)^2 +\left( {2\delta \Omega } \right)^2 } }}$

Man kann nun das Verhältnis von Erregerkreisfrequenz und Eigenkreisfrequenz sowie den Dämpfungskoeffizienten als Parameter einer Funktion für die Amplitude nutzen. Hierfür formen wir die Gleichung für die maximale Auslenkung ein wenig um:

$\hat x_p = \frac{{\frac{{\hat F}} {m}}} {{\sqrt {\left( {\omega _1^2 -\Omega ^2 } \right)^2 +\left( {2\delta \Omega } \right)^2 } }}$

Wir nutzen den Zusammenhang

$\frac{m} {c} = \frac{1} {{\omega _1^2 }}\quad \Rightarrow \quad m = \frac{c} {{\omega _1^2 }}$

und erhalten

$\hat x_p = \frac{{\frac{{\hat F}} {c}}} {{\frac{1} {{\omega _1^2 }}\sqrt {\left( {\omega _1^2 -\Omega ^2 } \right)^2 +\left( {2\delta \Omega } \right)^2 } }}$

Nun ziehen wir noch die Eigenkreisfrequenz in die Wurzel:

$\hat x_p = \frac{{\frac{{\hat F}} {c}}} {{\frac{1} {{\omega _1 }}\sqrt {\left( {\omega _1 -\frac{{\Omega ^2 }} {{\omega _1 }}} \right)^2 +\left( {\frac{{2\delta \Omega }} {{\omega _1 }}} \right)^2 } }}$

mit dem Kennverlustfaktor

$d_0 = \frac{{2\delta }} {{\omega _1 }}$

erhalten wir schließlich

$\hat x_p = \frac{{\frac{{\hat F}} {c}}} {{\frac{1} {{\omega _1 }}\sqrt {\left( {\omega _1 -\frac{{\Omega ^2 }} {{\omega _1 }}} \right)^2 +\left( {d_0 \Omega } \right)^2 } }}$

Für den Quotienten kann man schreiben:

$\eta = \frac{\Omega } {{\omega _1 }}\quad \Rightarrow \quad \hat x_p = \frac{{\frac{{\hat F}} {c}}} {{\sqrt {\left( {1-\eta ^2 } \right)^2 +\left( {2d_0 \eta } \right)^2 } }} = V\left( {\eta ,d_0 } \right)$

Graph der Funktion

Vergrößerungsfunktion 3D

Die Einzelheiten sieht man besser in der zweidimensionalen Version:

Vergrößerungsfunktion 2D

Bei einer Erregerkreisfrequenz von 0 bleibt das System bei einer statischen Auslenkung (F-Dach / c) stehen
Die Maxima der Amplitude sind nicht bei η = 1, sondern wandern mit steigendem δ nach links
Bei einer Erregerkreisfrequenz, die viel höher als die Eigenkreisfrequenz des Systems ist, schwingt das System nicht mehr, die Amplitude geht gegen 0 (das System kann sich nicht schnell genug bewegen)

Jede Anregung bringt eine Phasenverschiebung.
Bei Resonanz ist die Phasenverschiebung unabhängig vom Kennverlustfaktor immer 90°, oberhalb der Resonanz geht sie gegen 180°.

Für die Phasenverschiebung zwischen der Erregerschwingung und der Systemschwingung gilt (ohne Herleitung):

$\beta = \arctan \frac{{KE}} {{KD}} = \arctan \frac{{2\delta \Omega }} {{\omega _1^2 -\Omega ^2 }}$

Wir erweitern und vereinfachen anschließend:

$\beta = \arctan \left( {\frac{{2\delta \Omega }} {{\omega _1^2 -\Omega ^2 }}\frac{{\frac{1} {{\omega _1 \Omega }}}} {{\frac{1} {{\omega _1 \Omega }}}}} \right) = \arctan \left( {\frac{{d_0 }} {{\frac{{\omega _1 }} {\Omega }-\frac{\Omega } {{\omega _1 }}}}} \right)$