11.3 – Federsteifigkeit und Torsion einer Spiralfeder

 

Für die dargestellte Schraubenfeder mit-Windungen soll die Federsteifigkeit berechnet werden. Der Federdraht hat den Durchmesser 2r und aus der Gleichgewichtsbetrachtung ergibt sich MT = F R.

Gegeben: R, R, r, n, G

Lösung

Wir stellen zunächst die Material-Struktur-Gleichung auf:

M_T  = GI_T \theta ^{\prime}\left( x \right)

Die Variablen stehen für das Schubmodul (G), das Flächenträgheitsmoment (IT) und die Ableitung der Winkelfunktion nach x.

Berechnet werden soll die Federsteifigkeit C. Es gilt:

F = C \cdot \Delta l\quad \quad  \Rightarrow \quad \quad C = \frac{F} {{\Delta l}}

Wir müssen also die aus der Kraft resultierende Längenänderung berechnen.

Dafür setzen wir zunächst das aus der Gleichgewichtsbetrachtung resultierende Torsionsmoment in die Material-Struktur-Gleichung ein:

M_T  = GI_T \theta ^{\prime}\left( x \right)

RF = GI_T \theta ^{\prime}\left( x \right)

Die Ableitung des Winkels schreiben wir aus:

RF = GI_T \frac{{d\theta }} {{ds}}

Nun betrachten wir die Längenänderung des Federdrahtes:

Wird die Feder um den Winkel dθ verdreht, ändert sich die Länge des Drahtes um die gelb eingezeichnete Strecke dl.
Wäre θ = 2π, also 360°, dann wäre dl genau der Umfang des Kreises, also 2 π R. Es gilt aber:

dl = 2\pi R\frac{{d\theta }} {{2\pi }}\quad \quad  \Rightarrow \quad \quad \frac{{dl}} {R} = d\theta

eingesetzt:

RF = GI_T \frac{{d\theta }} {{ds}}

RF = \frac{{GI_T }} {R}\frac{{dl}} {{ds}}

\frac{{R^2 F}} {{GI_T }} = \frac{{dl}} {{ds}}

Die Ableitung der Länge nach der Strecke (mit anderen Worten: die Längenänderung pro Längeneinheit) ist die Deformation:

\frac{{dl}} {{ds}} = \varepsilon  = \frac{{\Delta l}} {l}

\frac{{R^2 Fl}} {{GI_T }} = \Delta l

Die Länge der Spiralfeder ist der Umfang mal die Anzahl der Windungen:

l = 2\pi Rn

\frac{{2R^3 F\pi n}} {{GI_T }} = \Delta l

Das Flächenträgheitsmoment ist das eines Vollzylinders:

I_T  = \frac{\pi } {2}r^4

F\frac{{4R^3 n}} {{Gr^4 }} = \Delta l

\frac{F} {{\Delta l}} = \frac{{Gr^4 }} {{4R^3 n}} = C

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2 Kommentare zu “11.3 – Federsteifigkeit und Torsion einer Spiralfeder”

11.3 – Federsteifigkeit und Torsion einer Spiralfeder

Für die dargestellte Schraubenfeder mit-Windungen soll die Federsteifigkeit berechnet werden.

na was denn jetzt? Schraube oder Spirale?

Damals hat man es damit noch nicht so genau genommen^^
Es handelt sich aber nach Masch-Definition um eine Schraubenfeder und nicht um eine Spiralfeder.

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