Wir betrachten die Wärmeleitungsgleichung
und wollen diese mit dem Ansatz lösen.
- Welche Differentialgleichung muss
lösen?
- Bestimmen Sie, welche Form
besitzt
- Welches Vorzeichen muss die Konstante
besitzen?
Hinweis: Um das Problem vollständig lösen zu können, bräuchten wir noch einen Anfangswert für und gegebenenfalls Randwerte für
, falls die Gleichung auf einem endlichen Teilgebiet und nicht um ganzen
gelöst werden soll.
Lösung
also ist
Wir teilen nun durch und
:
Wenn beide Seiten gleich sein sollen, müssen beide konstant sein.
Setze
ist also ein Eigenwert von
. Diese Eigenwerte sind eine nicht-fallende Folge, deren Werte alle positiv sind. Also muss die Konstante
größer als 0 und damit
sein.
Weiter sind die Eigenwerte von eine abzählbare (nichtfallende) Folge, bezeichne diese mit
Wir kommen nun zur Struktur von :
Damit ist
Durch den Indexwechsel ist nun . Die gesuchte Funktion ist also eine Summe von fallenden e-Funktionen, multipliziert mit einer Konstanten und einer Funktion, die sich im Ort abspielen.
Dies spiegelt auch das Lösungsverhalten parabolischer Gleichungen wieder:
Wenn man am Anfang einen Körper mit Temperaturverteilung hat und “nichts tut”, so wird er für eine einheitliche Temperatur haben.