12.3 – Separationsansätze – Wärmeleitungsgleichung

 

Wir betrachten die Wärmeleitungsgleichung

\frac{{\partial u}}{{\partial t}}-\Delta u = 0,\quad \left( {x,t} \right) \in Q = \Omega \times \left( {0,T} \right]

und wollen diese mit dem Ansatz u\left( {x,t} \right) = v\left( x \right)w\left( t \right) lösen.

  1. Welche Differentialgleichung muss v lösen?
  2. Bestimmen Sie, welche Form w\left(t\right) besitzt
  3. Welches Vorzeichen muss die Konstante \lambda besitzen?

Hinweis: Um das Problem vollständig lösen zu können, bräuchten wir noch einen Anfangswert für u und gegebenenfalls Randwerte für u, falls die Gleichung auf einem endlichen Teilgebiet und nicht um ganzen \mathbb R ^n gelöst werden soll.

Lösung

\frac{{\partial u}}{{\partial t}}-\Delta u = 0,\quad \left( {x,t} \right) \in Q = \Omega \times \left( {0,T} \right]

u\left( {x,t} \right) = v\left( x \right)w\left( t \right)

\frac{{\partial u}}{{\partial t}} = v{w_t}

-\Delta u = -w\Delta v

also ist

v{w_t}-w\Delta v = 0

Wir teilen nun durch v und w:

\frac{{{w_t}}}{w}-\frac{{\Delta v}}{v} = 0\quad \Rightarrow \quad \frac{{{w_t}}}{w} = \frac{{\Delta v}}{v}

Wenn beide Seiten gleich sein sollen, müssen beide konstant sein.

Setze

\frac{{{w_t}}}{w} = \lambda ,\quad \lambda v-\Delta v = 0\quad \Rightarrow \quad -\Delta v = -\lambda v

-\lambda ist also ein Eigenwert von -\Delta. Diese Eigenwerte sind eine nicht-fallende Folge, deren Werte alle positiv sind. Also muss die Konstante -\lambda größer als 0 und damit \lambda < 0 sein.

Weiter sind die Eigenwerte von -\Delta eine abzählbare (nichtfallende) Folge, bezeichne diese mit

{\left\{ {-{\lambda _k}} \right\}_{k \in \mathbb{N}}}

Wir kommen nun zur Struktur von w:

\frac{{{w_t}}}{w}-\lambda = 0\quad \Rightarrow \quad {w_t}-\lambda w = 0

w = {e^{\lambda t}},\quad {w_t} = \lambda {e^{\lambda t}}

Damit ist

\sum\limits_{-\lambda \in EW\left( {-\Delta } \right)}^{} {{C_{-\lambda }}{e^{\lambda t}}{v_{-\lambda }}} = \sum\limits_{\lambda \in EW\left( {-\Delta } \right)}^{} {{C_\lambda }{e^{-\lambda t}}{v_\lambda }}

Durch den Indexwechsel ist nun \lambda > 0. Die gesuchte Funktion ist also eine Summe von fallenden e-Funktionen, multipliziert mit einer Konstanten und einer Funktion, die sich im Ort abspielen.

Dies spiegelt auch das Lösungsverhalten parabolischer Gleichungen wieder:
Wenn man am Anfang einen Körper mit Temperaturverteilung hat und “nichts tut”, so wird er für t \to \infty eine einheitliche Temperatur haben.