12 – Dämpfung 07 – Resonanzkurve der Schwinggeschwindigkeit

Im letzten Artikel haben wir die Bewegungsgleichung der schwingenden Masse bestimmt:

x = \hat x \cos \left(\Omega t-\beta \right)

Analog dazu gilt für die Schwinggeschwindigkeit:

v = \hat v \cos \left(\Omega t-\gamma \right)

Alternativ kann man auch die Bewegungsgleichung ableiten und so ebenfalls auf eine Gleichung für die Geschwindigkeit kommen:

<br /> v = \dot x = \hat x \Omega \left[-\sin \left(\Omega t-\beta \right) \right] = \Omega \hat x \cos \left(\Omega t-\beta+\frac{\pi}{2} \right)<br />

Ein Koeffizientenvergleich ergibt:

<br /> -\beta +\frac{\pi }<br /> {2} = -\gamma \quad \quad \Rightarrow \quad \quad \gamma = \beta -\frac{\pi }<br /> {2}<br />

und

<br /> \Omega \hat x = \hat v<br />

Eingesetzt:

<br /> v = \hat v\cos \left( {\Omega t-\gamma } \right) = \Omega \hat x\cos \left( {\Omega t-\beta +\frac{\pi }<br /> {2}} \right)<br />

Für die maximale Amplitude gilt mit

<br /> \hat x_p = \frac{{\frac{{\hat F}}<br /> {c}}}<br /> {{\frac{1}<br /> {{\omega _1 }}\sqrt {\left( {\omega _1 -\frac{{\Omega ^2 }}<br /> {{\omega _1 }}} \right)^2 +\left( {d_0 \Omega } \right)^2 } }}<br />

die folgende Beziehung:

<br /> \hat v = \Omega \hat x = \frac{{\Omega \frac{{\hat F}}<br /> {c}}}<br /> {{\frac{1}<br /> {{\omega _1 }}\sqrt {\left( {\omega _1 -\frac{{\Omega ^2 }}<br /> {{\omega _1 }}} \right)^2 +\left( {d_0 \Omega } \right)^2 } }} = \frac{{\Omega \frac{{\hat F}}<br /> {c}}}<br /> {{\frac{\Omega }<br /> {{\omega _1 }}\sqrt {\left( {\frac{{\omega _1 }}<br /> {\Omega }-\frac{\Omega }<br /> {{\omega _1 }}} \right)^2 +d_0^2 } }} = \frac{{\Omega \frac{{\hat F}}<br /> {c}}}<br /> {{\frac{\Omega }<br /> {{\omega _1 }}\sqrt {\left( {\frac{{\omega _1 }}<br /> {\Omega }-\frac{\Omega }<br /> {{\omega _1 }}} \right)^2 +d_0^2 } }}\frac{{\frac{{\omega _1 }}<br /> {\Omega }}}<br /> {{\frac{{\omega _1 }}<br /> {\Omega }}}<br />

mit

<br /> \frac{{\hat F\omega _1 }}<br /> {c} = \frac{{\hat F\sqrt {\frac{c}<br /> {m}} }}<br /> {c} = \frac{{\hat F}}<br /> {{\sqrt {cm} }}<br />

wird daraus

<br /> \hat v = \frac{{\frac{{\hat F}}<br /> {{\sqrt {cm} }}}}<br /> {{\sqrt {\left( {\frac{{\omega _1 }}<br /> {\Omega }-\frac{\Omega }<br /> {{\omega _1 }}} \right)^2 +d_0 ^2 } }}<br />

Bei der Schwinggeschwindigkeit (Schnelle) spielt also nicht nur die Federsteifigkeit eine Rolle, sondern auch die verwendete Masse.

Zugehöriger Phasenwinkel:

<br /> \gamma = \beta -\frac{\pi }<br /> {2} = \arctan \left( {\frac{{d_0 }}<br /> {{\frac{{\omega _1 }}<br /> {\Omega }-\frac{\Omega }<br /> {{\omega _1 }}}}} \right)-\frac{\pi }<br /> {2}<br />

Für Ω = 0 ist die maximale Geschwindigkeit = 0

Wenn wir nach Ω ableiten stellen wir fest, dass das Maximum stets bei Ωv = ω1 auftritt, d.h. die “charakteristische Kreisfrequenz der Schwelle” Ωv tritt bei der Eigenkreisfrequenz des ungedämpften Systems auf!

<br /> \hat v_r = \hat v \left( \Omega_v \right) = \frac{\hat F}{\sqrt{c m} d_0} = \frac{\hat F}{r}<br />

mit den Gleichungen

<br /> d_0 = \frac{2 \delta}{\omega_1}<br />

<br /> \delta = \frac{r}{2m}<br />

<br /> \omega_1 = \sqrt{\frac{c}{m}}<br />

folgt

<br /> d_0 = \frac{2r}{2m \sqrt{ \frac{c}{m}}} = \frac{r}{\sqrt{cm}}<br />

(r ist die Dämpfungskonstante)

Wenn Die Erregerkreisfrequenz viel größer ist als die Eigenkreisfrequenz des Systems, ist die maximale Geschwindigkeit umgekehrt proportional zu der Erregerkreisfrequenz.

Für Ω = ω1 sind Schnelle und Kraft in Phase

Resonanzkurve der Schwinggeschwindigkeit

Kurve 5 ist wieder stark gedämpft und gehört daher eigentlich nicht in den Definitionsbereich.
Es ist zu beachten, dass die Maxima immer bei der Eigenkreisfrequenz liegen.

Graph der Phasenverschiebung

Der Graph ist verglichen mit dem Graph der Phasenverschiebung des Schwingweges um π / 2 verschoben; im Resonanzfall laufen die Schwinggeschwindigkeiten genau in Phase.

Take-Home-Message: Solch eine Kurve MUSS skizziert und erkannt werden können.

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