12 – Hilbert-Räume

 

Begriff des Hilbert-Raumes

Q: Skalarproduktraum über \mathbb C oder \mathbb R

Dabei heißt eine Abbildung \left\langle { \cdot , \cdot } \right\rangle :Q \times Q \to \mathbb{C} Skalarprodukt, falls \forall \alpha  \in \mathbb{C},\quad u,v,w \in Q gilt:

\left( {SP1} \right):\quad \left\langle {\alpha u+v,w} \right\rangle  = \alpha \left\langle {u,w} \right\rangle +\left\langle {v,w} \right\rangle (Linearität)

\left( {SP2} \right):\quad \left\langle {v,w} \right\rangle  = \overline {\left\langle {w,v} \right\rangle } (Antisymmetrie)

\left( {SP3} \right):\quad u \ne 0\quad  \Rightarrow \quad \left\langle {u,u} \right\rangle  > 0 (Definitheit)

Aus \left( {SP1} \right) und \left( {SP2} \right) folgt, dass \left\langle { \cdot , \cdot } \right\rangle eine Sesquilinearform ist, d.h. linear im 1. Argument und antilinear im 2. Argument, d.h.

\left\langle {u,\beta v+\gamma w} \right\rangle  = \overline {\left\langle {\beta v+\gamma w,u} \right\rangle }  = \overline \beta  \overline {\left\langle {v,u} \right\rangle } +\overline \gamma  \overline {\left\langle {w,u} \right\rangle }  = \overline \beta  \left\langle {u,v} \right\rangle +\overline \gamma  \left\langle {u,w} \right\rangle

Falls der Skalarbereich \mathbb R ist, so ist \left\langle { \cdot , \cdot } \right\rangle eine Bilinearform (also in beiden Argumenten linear).

Wir definieren nun die Norm auf Q:

\left\| u \right\| = \sqrt {\left\langle {u,u} \right\rangle } ,\quad u \in Q

Insbesondere gilt hier die Dreiecksungleichung und daher auch die Schwarzsche Ungleichung:

\left| {\left\langle {u,v} \right\rangle } \right| \leq \left\| u \right\|\left\| v \right\|

Der Hilbertraum ist dann die Vervollständigung von Q: H = \overline Q

Hilfssatz

Für beliebige u,v \in H gilt

4\left\langle {u,v} \right\rangle  = {\left\| {u+v} \right\|^2}-{\left\| {u-v} \right\|^2}+i\left( {{{\left\| {u+iv} \right\|}^2}-{{\left\| {u-iv} \right\|}^2}} \right)

Damit kann der folgende Satz bewiesen werden:

Satz

Ein unendlichdimensionaler Banach-Raum E (über \mathbb C) ist ein Hilbert-Raum, wenn für alle u,v \in E gilt:

{\left\| {u+v} \right\|^2}+{\left\| {u-v} \right\|^2} = 2{\left\| u \right\|^2}+2{\left\| v \right\|^2}

An dieser Stelle noch ein einfaches Beispiel für einen Hilbertraum: {L_2}

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2 Kommentare zu “12 – Hilbert-Räume”

Hi hab einen Fehler in euer Parallelogrammgleichung gefunden. Es muss ein Plus zwischen die Therme auf der rechten Seite:

    \[{\left\| {u+v} \right\|^2}+{\left\| {u-v} \right\|^2} = 2{\left\| u \right\|^2}+2{\left\| v \right\|^2}\]

Zusätzlich wäre vielleicht ein Bild zur Veranschaulichung der Parallelogrammgleichung hier schön, weil man sollte alles an Bilder in diesem Thema einfügen was die Vorstellung anregt

Danke für den Hinweis, wurde korrigiert. Ein passendes Bild dazu fällt mir im Moment nicht ein.

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