12 – Hilbert-Räume

 

Begriff des Hilbert-Raumes

Q: Skalarproduktraum über \mathbb C oder \mathbb R

Dabei heißt eine Abbildung \left\langle { \cdot , \cdot } \right\rangle :Q \times Q \to \mathbb{C} Skalarprodukt, falls \forall \alpha \in \mathbb{C},\quad u,v,w \in Q gilt:

\left( {SP1} \right):\quad \left\langle {\alpha u+v,w} \right\rangle = \alpha \left\langle {u,w} \right\rangle +\left\langle {v,w} \right\rangle (Linearität)

\left( {SP2} \right):\quad \left\langle {v,w} \right\rangle = \overline {\left\langle {w,v} \right\rangle } (Antisymmetrie)

\left( {SP3} \right):\quad u \ne 0\quad \Rightarrow \quad \left\langle {u,u} \right\rangle > 0 (Definitheit)

Aus \left( {SP1} \right) und \left( {SP2} \right) folgt, dass \left\langle { \cdot , \cdot } \right\rangle eine Sesquilinearform ist, d.h. linear im 1. Argument und antilinear im 2. Argument, d.h.

\left\langle {u,\beta v+\gamma w} \right\rangle = \overline {\left\langle {\beta v+\gamma w,u} \right\rangle } = \overline \beta \overline {\left\langle {v,u} \right\rangle } +\overline \gamma \overline {\left\langle {w,u} \right\rangle } = \overline \beta \left\langle {u,v} \right\rangle +\overline \gamma \left\langle {u,w} \right\rangle

Falls der Skalarbereich \mathbb R ist, so ist \left\langle { \cdot , \cdot } \right\rangle eine Bilinearform (also in beiden Argumenten linear).

Wir definieren nun die Norm auf Q:

\left\| u \right\| = \sqrt {\left\langle {u,u} \right\rangle } ,\quad u \in Q

Insbesondere gilt hier die Dreiecksungleichung und daher auch die Schwarzsche Ungleichung:

\left| {\left\langle {u,v} \right\rangle } \right| \leq \left\| u \right\|\left\| v \right\|

Der Hilbertraum ist dann die Vervollständigung von Q: H = \overline Q

Hilfssatz

Für beliebige u,v \in H gilt

4\left\langle {u,v} \right\rangle = {\left\| {u+v} \right\|^2}-{\left\| {u-v} \right\|^2}+i\left( {{{\left\| {u+iv} \right\|}^2}-{{\left\| {u-iv} \right\|}^2}} \right)

Damit kann der folgende Satz bewiesen werden:

Satz

Ein unendlichdimensionaler Banach-Raum E (über \mathbb C) ist ein Hilbert-Raum, wenn für alle u,v \in E gilt:

{\left\| {u+v} \right\|^2}+{\left\| {u-v} \right\|^2} = 2{\left\| u \right\|^2}+2{\left\| v \right\|^2}

An dieser Stelle noch ein einfaches Beispiel für einen Hilbertraum: {L_2}

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2 Kommentare zu “12 – Hilbert-Räume”

FayN
12. 01. 11 at 8:21 pm

Hi hab einen Fehler in euer Parallelogrammgleichung gefunden. Es muss ein Plus zwischen die Therme auf der rechten Seite:

    \[{\left\| {u+v} \right\|^2}+{\left\| {u-v} \right\|^2} = 2{\left\| u \right\|^2}+2{\left\| v \right\|^2}\]

Zusätzlich wäre vielleicht ein Bild zur Veranschaulichung der Parallelogrammgleichung hier schön, weil man sollte alles an Bilder in diesem Thema einfügen was die Vorstellung anregt

admin
12. 01. 11 at 8:32 pm

Danke für den Hinweis, wurde korrigiert. Ein passendes Bild dazu fällt mir im Moment nicht ein.

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