Begriff des Hilbert-Raumes
: Skalarproduktraum über
oder
Dabei heißt eine Abbildung Skalarprodukt, falls
gilt:
(Linearität)
(Antisymmetrie)
(Definitheit)
Aus und
folgt, dass
eine Sesquilinearform ist, d.h. linear im 1. Argument und antilinear im 2. Argument, d.h.
Falls der Skalarbereich ist, so ist
eine Bilinearform (also in beiden Argumenten linear).
Wir definieren nun die Norm auf :
Insbesondere gilt hier die Dreiecksungleichung und daher auch die Schwarzsche Ungleichung:
Der Hilbertraum ist dann die Vervollständigung von :
Hilfssatz
Für beliebige gilt
Damit kann der folgende Satz bewiesen werden:
Satz
Ein unendlichdimensionaler Banach-Raum (über
) ist ein Hilbert-Raum, wenn für alle
gilt:
An dieser Stelle noch ein einfaches Beispiel für einen Hilbertraum:
Hi hab einen Fehler in euer Parallelogrammgleichung gefunden. Es muss ein Plus zwischen die Therme auf der rechten Seite:
Zusätzlich wäre vielleicht ein Bild zur Veranschaulichung der Parallelogrammgleichung hier schön, weil man sollte alles an Bilder in diesem Thema einfügen was die Vorstellung anregt
Danke für den Hinweis, wurde korrigiert. Ein passendes Bild dazu fällt mir im Moment nicht ein.