12 – Hilbert-Räume

Begriff des Hilbert-Raumes

: Skalarproduktraum über $\mathbb C$ oder $\mathbb R$

Dabei heißt eine Abbildung $\left\langle { \cdot , \cdot } \right\rangle :Q \times Q \to \mathbb{C}$ Skalarprodukt, falls $\forall \alpha \in \mathbb{C},\quad u,v,w \in Q$ gilt:

$\left( {SP1} \right):\quad \left\langle {\alpha u+v,w} \right\rangle = \alpha \left\langle {u,w} \right\rangle +\left\langle {v,w} \right\rangle$ (Linearität)

$\left( {SP2} \right):\quad \left\langle {v,w} \right\rangle = \overline {\left\langle {w,v} \right\rangle }$ (Antisymmetrie)

$\left( {SP3} \right):\quad u \ne 0\quad \Rightarrow \quad \left\langle {u,u} \right\rangle > 0$ (Definitheit)

Aus $\left( {SP1} \right)$ und $\left( {SP2} \right)$ folgt, dass $\left\langle { \cdot , \cdot } \right\rangle$ eine Sesquilinearform ist, d.h. linear im 1. Argument und antilinear im 2. Argument, d.h.

$\left\langle {u,\beta v+\gamma w} \right\rangle = \overline {\left\langle {\beta v+\gamma w,u} \right\rangle } = \overline \beta \overline {\left\langle {v,u} \right\rangle } +\overline \gamma \overline {\left\langle {w,u} \right\rangle } = \overline \beta \left\langle {u,v} \right\rangle +\overline \gamma \left\langle {u,w} \right\rangle$

Falls der Skalarbereich $\mathbb R$ ist, so ist $\left\langle { \cdot , \cdot } \right\rangle$ eine Bilinearform (also in beiden Argumenten linear).

Wir definieren nun die Norm auf :

$\left\| u \right\| = \sqrt {\left\langle {u,u} \right\rangle } ,\quad u \in Q$

Insbesondere gilt hier die Dreiecksungleichung und daher auch die Schwarzsche Ungleichung:

$\left| {\left\langle {u,v} \right\rangle } \right| \leq \left\| u \right\|\left\| v \right\|$

Der Hilbertraum ist dann die Vervollständigung von : $H = \overline Q$

Hilfssatz

Für beliebige $u,v \in H$ gilt

$4\left\langle {u,v} \right\rangle = {\left\| {u+v} \right\|^2}-{\left\| {u-v} \right\|^2}+i\left( {{{\left\| {u+iv} \right\|}^2}-{{\left\| {u-iv} \right\|}^2}} \right)$