12 – Topologie und Mengenlehre

 
  1. Zeigen Sie, dass für eine Teilmenge A des Rn gilt:
    {\text{A ist abgeschlossen}}\quad  \Leftrightarrow \quad \mathbb{R}^n \backslash {\text{A ist offen}}
  2. Beweisen oder widerlegen Sie: Für jede (eventuell unendliche) Menge M offener Teilmengen des R ist ihre Vereinigung\bigcup\limits_{U \in M} U

    ebenfalls offen.

  3. Beweisen oder widerlegen Sie: Für jede (eventuell unendliche) Menge M offener Teilmengen des R ist ihr Durchschnitt\bigcap\limits_{U \in M} U

    ebenfalls offen.

Lösung

Zu offenen und geschlossenen Mengen:

1. Definition einer offenen Menge:

\forall x \in o\:\exists r > 0:B_r \left( x \right) \subset o

Um jeden Punkt einer offenen Menge kann eine Kugel gelegt werden, so dass alle Punkte in der Kugel noch in der Menge sind. Dies geht natürlich nur, wenn der Rand nicht mit zur Menge zählt:

2. Definition einer abgeschlossenen Menge:

\lim x_n  \subset a\forall \left( {x_n } \right)n \subset a

Alle Element einer Folge in einer abgeschlossenen Menge liegen in der abgeschlossenen Menge. Die Folge kann daher auch gegen den in einer abgeschlossenen Menge enthaltenen Randpunkt konvergieren:

a )

Wir wollen eine Behauptung vom Typ

{\text{Aussage A}}\quad  \Leftrightarrow \quad {\text{Aussage B}}

nachweisen. Um dies zu tun reicht es, die Aussage

\neg {\text{A}}\quad  \Leftrightarrow \quad \neg {\text{B}}

(aus “nicht A” folgt “nicht B” und anders herum) zu beweisen. Dies wollen wir nun tun.
Wir stellen uns zwei aneinander grenzende Mengen o und a vor. Die Menge o ist “fast” offen, d.h. nur ein kleiner Bereich vom Rand gehört zu o. Der größte Teil des Randes gehört zur angrenzenden Menge a. Dadurch ist diese auch nur “fast” geschlossen, da der kleine zu o gehörige Teil des Randes fehlt:

Wir wählen nun einen Punkt P auf dem Randstück, das zur “fast offenen” Menge gehört.
Wenn wir einen Kreis um den Punkt P zeichnen, enthält dieser auf jeden Fall Elemente der Menge a, egal wie klein wir den Radius wählen.
Wenn wir eine Folge aus a gegen den Punkt p konvergieren lassen, so liegt der Grenzwert der Folge von a in o.

Diese Zusammenhänge müssen wir nun noch ausformulieren:

a.)

{\text{a nicht abgeschlossen}}\quad  \Rightarrow \quad \mathbb{R}^n \backslash {\text{a nicht offen}}

Ziel: finde {\text{x}} \in o\quad mit\quad B_r \left( x \right) \not\subset o\:\forall r > 0

gegeben: \left( {x_n } \right)_n  \subset a,\quad x: = \lim x_n  \in o

Behauptung: lim xn ist das gesuchte x, denn mit ε := r gilt:

\forall r > 0\:\exists \:n_0 :\left\| {x_{n_0 } -x} \right\| < \varepsilon  = r

Also:

x_{n_0 }  \in \left\{ {y|\left\| {y-x} \right\| < r} \right\} = B_r \left( x \right)

Weil xn0 nicht Element der Menge a ist, folgt:

B_r \left( x \right) \not\subset o

q.e.d.

b.)

{\text{o nicht offen}}\quad  \Rightarrow \quad \mathbb{R}^n \backslash {\text{o nicht abgeschlossen}}

Ziel: finde \left( {x_n } \right)_n  \subset a,\quad x: = \lim x_n  \in o

gegeben: {\text{x}} \in o\quad mit\quad B_r \left( x \right) \not\subset o\:\forall r > 0

Aus der Voraussetzung folgt, dass mindestens ein Element von a in Br(x) liegt.

Wir setzen für n \geq 1 \to r: = \frac{1}{n} und betrachten B_{\frac{1}{n}} \left( x \right). Ein gewisses Element aus a \cap B_{\frac{1}{n}} heißt jetzt xn.

Es gilt

x_n  \in B_{\frac{1} {n}} \left( x \right) = \left\{ {y|\left\| {y-x} \right\| < \frac{1} {n}} \right\}

also

{\left\| {y-x} \right\| < \frac{1} {n}}

und daher

\lim x_n  = x \in o

b ) und c )

Wir wollen die folgenden vier Fälle betrachten:

  1. Vereinigung von offenen Mengen
  2. Durchschnitt von offenen Mengen
  3. Vereinigung von abgeschlossenen Mengen
  4. Durchschnitt von abgeschlossenen Mengen

1.

Die Vereinigung beliebig vieler (also auch unendlich vieler) offener Mengen ist wieder offen.
Zum Beweis wählt man einen Punkt x aus der Vereinigung. Es gibt dann eine Kugel Br(x) um diesen Punkt, der in einer der vereinigten offenen Mengen, also auch in der Vereinigung, liegt.

2.

Der Durchschnitt offener Mengen kann wieder offen sein, muss es aber nicht.
Gegenbeispiel:

\left] {-1,1} \right[ \cap \left] {-\frac{1} {2},\frac{1} {2}} \right[ \cap \left] {-\frac{1} {3},\frac{1} {3}} \right[ \cap \ldots = \left\{ 0 \right\}

{0} ist eine abgeschlossene Menge.

3.

Die Vereinigung von abgeschlossenen Mengen kann abgeschlossen sein, muss es aber nicht.
Gegenbeispiel:

\mathbb{R}\backslash \left] {-1,1} \right[ \cup \mathbb{R}\backslash \left] {-\frac{1} {2},\frac{1} {2}} \right[ \cup \mathbb{R}\backslash \left] {-\frac{1} {3},\frac{1} {3}} \right[ \cup \ldots = \mathbb{R}\backslash \left\{ 0 \right\} = \mathbb{R}

R ist eine offene Menge.

4.

Der Durchschnitt von abgeschlossenen Mengen ist wieder abgeschlossen.

Beweis:

Zum Beweis betrachten wir R ohne den Durchschnitt der abgeschlossenen Mengen:

\mathbb{R}\backslash \bigcap a  = \bigcup {\mathbb{R}\backslash a}

Die Vereinigung von R\a ist eine Vereinigung von offenen Mengen und somit nach 1. wieder offen.

Daraus folgt:

\mathbb{R}\backslash \bigcap a  = \bigcup {\mathbb{R}\backslash a} \quad  \to \quad offen

\Rightarrow \quad \bigcap a \quad  \to \quad abgeschlossen

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