13 – Dämpfung 08 – Resonanzkurve der Schwingbeschleunigung

In den letzten Artikeln haben wir die Gleichungen der Auslenkung und Geschwindigkeit der schwingenden Masse bestimmt:

$ x = \hat x \cos \left( \Omega t-\beta \right) $

$ v = \hat v\cos \left( {\Omega t-\gamma } \right) $

Analog gilt für die Schwingbeschleunigung

$ a = \hat a \cos \left( \Omega t-\delta \right) $

Alternativ kann man auch die Bewegungsgleichung zwei mal ableiten und so ebenfalls auf eine Gleichung für die Beschleunigung kommen:

$ a = \ddot x = \dot v = \Omega^2 \hat x \left[-\cos \left( \Omega t-\beta \right) \right] = \Omega^2 \hat x \cos \left( \Omega t-\beta+\pi \right) $

Durch Koeffizientenvergleich erhalten wir

$ \hat a = \Omega ^2 \hat x = \frac{{\Omega ^2 \frac{{\hat F}} {c}}} {{\frac{\Omega } {{\omega _1 }}\sqrt {\left( {\frac{{\omega _1 }} {\Omega }-\frac{\Omega } {{\omega _1 }}} \right)^2 +d_0^2 } }} $

Wir erweitern in einer Nebenrechnung

$ \frac{{\Omega ^2 \hat F\omega _1 }} {{C\Omega }}\frac{{\frac{1} {m}}} {{\frac{1} {m}}} = \frac{{\Omega \hat F\frac{{\omega _1 }} {m}}} {{\omega _1 ^2 }} = \frac{{\Omega \hat F}} {{\omega _1 m}} $

(wir haben hier den Zusammenhang $\omega_1 = \sqrt{\frac{C}{m}}$ benutzt)

eingesetzt:

$ \hat a = \frac{{\frac{{\Omega \hat F}} {{\omega _1 m}}}} {{\sqrt {\left( {\frac{{\omega _1 }} {\Omega }-\frac{\Omega } {{\omega _1 }}} \right)^2 +d_0 ^2 } }} $