13 – Dämpfung 08 – Resonanzkurve der Schwingbeschleunigung

 

In den letzten Artikeln haben wir die Gleichungen der Auslenkung und Geschwindigkeit der schwingenden Masse bestimmt:

x = \hat x \cos \left( \Omega t-\beta \right)

v = \hat v\cos \left( {\Omega t-\gamma } \right)

Analog gilt für die Schwingbeschleunigung

a = \hat a \cos \left( \Omega t-\delta \right)

Alternativ kann man auch die Bewegungsgleichung zwei mal ableiten und so ebenfalls auf eine Gleichung für die Beschleunigung kommen:

a = \ddot x = \dot v = \Omega^2 \hat x \left[-\cos \left( \Omega t-\beta \right) \right] = \Omega^2 \hat x \cos \left( \Omega t-\beta+\pi \right)

Durch Koeffizientenvergleich erhalten wir

\hat a = \Omega ^2 \hat x = \frac{{\Omega ^2 \frac{{\hat F}} {c}}} {{\frac{\Omega } {{\omega _1 }}\sqrt {\left( {\frac{{\omega _1 }} {\Omega }-\frac{\Omega } {{\omega _1 }}} \right)^2 +d_0^2 } }}

Wir erweitern in einer Nebenrechnung

\frac{{\Omega ^2 \hat F\omega _1 }} {{C\Omega }}\frac{{\frac{1} {m}}} {{\frac{1} {m}}} = \frac{{\Omega \hat F\frac{{\omega _1 }} {m}}} {{\omega _1 ^2 }} = \frac{{\Omega \hat F}} {{\omega _1 m}}

(wir haben hier den Zusammenhang \omega_1 = \sqrt{\frac{C}{m}} benutzt)

eingesetzt:

\hat a = \frac{{\frac{{\Omega \hat F}} {{\omega _1 m}}}} {{\sqrt {\left( {\frac{{\omega _1 }} {\Omega }-\frac{\Omega } {{\omega _1 }}} \right)^2 +d_0 ^2 } }}

Zugehöriger Phasenwinkel:

\delta  = \beta -\pi  = \arctan \left( {\frac{{d_0 }} {{\frac{{\omega _1 }} {\Omega }-\frac{\Omega } {{\omega _1 }}}}} \right)-\pi

\Omega = 0 \quad \quad \Rightarrow \hat a \left( \Omega \right) = 0

Maximalwert bei der “charakteristischen Kreisfrequenz der Beschleunigung”

\Omega _\alpha   = \frac{{\omega _1 }} {{\sqrt {1-\frac{{d_0 ^2 }} {2}} }} > \omega _1

\hat a_r = \hat a \left( \Omega_\alpha \right) = \frac{\frac{\hat F}{m}}{d_0 \sqrt{1- \left( \frac{d_0}{2} \right) ^2}}

Resonanzkurve der Schwingbeschleunigung

Dieses Mal gehen die Maxima mit steigendem d0 weiter nach rechts.

Graph der Phasenverschiebung der Schwingbeschleunigung:

Phasenverschiebung der Schwingbeschleunigung