13 – mehrdimensionale Funktionen

 

Betrachten Sie die Funktion

f:\mathbb{R}^2  \to \mathbb{R}

mit

f\left( {x,y} \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} \frac{{x \cdot y}} {{x^2 +y^2 }} & {\text{falls }}\left( {x,y} \right) \ne \left( {0,0} \right)  \\ 0 & {\text{falls }}\left( {x,y} \right) = \left( {0,0} \right)  \\  \end{array} } \right.

  1. Berechnen Sie für jeden Punkt \left( {x,y} \right) \in \mathbb{R}^2 \backslash \left\{ {\left( {0,0} \right)} \right\} die partiellen Ableitungen

    \frac{{\partial f}} {{\partial x}} und \frac{{\partial f}} {{\partial y}}

  2. Berechnen Sie für t ungleich 0 die Werte von
    f\left( {t,0} \right)

    f\left( {0,t} \right)

    f\left( {t,t} \right)

    f\left( {t,-t} \right)

  3. Ist die Funktion f stetig im Nullpunkt?
  4. Existieren die partiellen Ableitungen

    \frac{{\partial f}} {{\partial x}}\left( {0,0} \right) und \frac{{\partial f}} {{\partial y}}\left( {0,0} \right)

    Wenn ja, dann bestimmen Sie diese.

Lösung

Hier zunächst ein Schaubild der Funktion:

a )

Wir leiten partiell ab:

\frac{{\partial f}} {{\partial x}} = \frac{{y \cdot \left( {x^2 +y^2 } \right)-x \cdot y \cdot 2x}} {\left({x^2 +y^2 }\right)^2} = \frac{{y \cdot x^2 +y^3 -2 \cdot y \cdot x^2 }} {\left({x^2 +y^2 }\right)^2} = \frac{{y^3 -y \cdot x^2 }} {\left({x^2 +y^2 }\right)^2}

\frac{{\partial f}} {{\partial y}} = \frac{{x \cdot \left( {x^2 +y^2 } \right)-y \cdot x \cdot 2y}} {\left({x^2 +y^2 }\right)^2} = \frac{{x \cdot y^2 +x^3 -2 \cdot x \cdot y^2 }} {\left({x^2 +y^2 }\right)^2} = \frac{{x^3 -x \cdot y^2 }} {\left({x^2 +y^2 }\right)^2}

b )

Einsetzen in die Funktionsvorschrift liefert:

f\left( {t,0} \right) = 0

f\left( {0,t} \right) = 0

f\left( {t,t} \right) = \frac{1} {2}

f\left( {t,-t} \right) = -\frac{1} {2}

c )

Wir bilden den Grenzwert:

\frac{{\partial f}} {{\partial x}}\left( {0,0} \right) = \lim \limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {0+h,0} \right)-f\left( {0,0} \right)}} {h} = \lim \limits_{h \to 0} \frac{{0-0}} {h} = 0

Daraus folgt die eindimensionale Stetigkeit in mehreren Richtungen. Wir können so allerdings nicht auf eine zweidimensionale Stetigkeit schließen.

Hierzu die Definition von Stetigkeit:

\forall \varepsilon  > 0\exists \delta  > 0:\left\| {f\left( x \right)-f\left( {x \pm \delta } \right)} \right\| < \varepsilon

oder alternativ das Folgenkriterium:

Wenn eine Folge im Definitionsbereich gegen einen Wert konvergiert, dann muss auch der Grenzwert der Folge von Funktionswerten gegen den Funktionswertes des Grenzwertes der Folge konvergieren.
Dies wollen wir testen.

Wir betrachten

\left( {\frac{1} {n},\frac{1} {n}} \right)_n

Es gilt

f\left( {\frac{1} {n},\frac{1} {n}} \right) = \frac{1} {2}\forall n\quad  \Rightarrow \quad \lim f\left( {\frac{1} {n},\frac{1} {n}} \right) = \frac{1} {2}

aber

f\left( {\lim \left( {\frac{1} {n},\frac{1} {n}} \right)} \right) = f\left( {0,0} \right) = 0

Da 0 ungleich 1/2 ist, ist die Funktion nicht stetig in 0,0.

d )

Da die Funktion im Nullpunkt nicht stetig ist, existieren hier auch keine partiellen Ableitungen.

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8 Kommentare zu “13 – mehrdimensionale Funktionen”

In der Lösung zu Aufgabe a) ist der Nenner nicht korrekt. Hier fehlt jeweils das Quadrat. Ändert natürlich nichts an der Lösung der Aufgabe, aber die Ableitung ist trotzdem nicht richtig! Vielleicht kann man es ja ausbessern. Ebenso fehlt in der Lösung zu b) ein = Zeichen!

Gute Seite zum Nachlesen und Aufgaben rechnen! Danke für die Mühe!

Gruß

Johnsen

Danke für den Hinweis, die Fehler wurden korrigiert.

zu Teil d)

Aus der Nichtstetigkeit im Nullpunkt folgt nicht, dass die partiellen Ableitungen nicht existieren. Diese sind nämlich beide existent (bitte nachrechnen).

Doch, Stetigkeit ist eine notwendige Voraussetzung für Differenzierbarkeit.

Die Lösung von Teil d) ist wirklich falsch. Stetigkeit ist zwar eine notwendige Voraussetzung für totale Differenzierbarkeit, aber nicht für partielle Differenzierbarkeit! Die partiellen Ableitungen existieren beide, insbesondere bei (0,0) da
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) = \lim_{h \to } \frac{f(0+h,0) - f(0,0)}{h} = 0
und genauso für die y-Ableitung.

Kann jemand mir erklären ,was t ist und wer man es ausrechnen soll ?

Also bei B

@John: t ist einfach nur eine Variable, die für x bzw. y in die Funktion eingesetzt werden soll.

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