13 – mehrdimensionale Funktionen

Betrachten Sie die Funktion

<br /> f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}<br />

mit

<br /> f\left( {x,y} \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}<br /> \frac{{x \cdot y}}<br /> {{x^2 +y^2 }} & {\text{falls }}\left( {x,y} \right) \ne \left( {0,0} \right) \\<br /> 0 & {\text{falls }}\left( {x,y} \right) = \left( {0,0} \right) \\</p> <p>\end{array} } \right.<br />

  1. Berechnen Sie für jeden Punkt \left( {x,y} \right) \in \mathbb{R}^2 \backslash \left\{ {\left( {0,0} \right)} \right\} die partiellen Ableitungen

    <br /> \frac{{\partial f}}<br /> {{\partial x}}<br /> und <br /> \frac{{\partial f}}<br /> {{\partial y}}<br />

  2. Berechnen Sie für t ungleich 0 die Werte von
    <br /> f\left( {t,0} \right)<br />

    <br /> f\left( {0,t} \right)<br />

    <br /> f\left( {t,t} \right)<br />

    <br /> f\left( {t,-t} \right)<br />

  3. Ist die Funktion f stetig im Nullpunkt?
  4. Existieren die partiellen Ableitungen

    <br /> \frac{{\partial f}}<br /> {{\partial x}}\left( {0,0} \right)<br /> und <br /> \frac{{\partial f}}<br /> {{\partial y}}\left( {0,0} \right)<br />

    Wenn ja, dann bestimmen Sie diese.

Lösung

Hier zunächst ein Schaubild der Funktion:

a )

Wir leiten partiell ab:

<br /> \frac{{\partial f}}<br /> {{\partial x}} = \frac{{y \cdot \left( {x^2 +y^2 } \right)-x \cdot y \cdot 2x}}<br /> {{x^2 +y^2 }} = \frac{{y \cdot x^2 +y^3 -2 \cdot y \cdot x^2 }}<br /> {{x^2 +y^2 }} = \frac{{y^3 -y \cdot x^2 }}<br /> {{x^2 +y^2 }}<br />

<br /> \frac{{\partial f}}<br /> {{\partial y}} = \frac{{x \cdot \left( {x^2 +y^2 } \right)-y \cdot x \cdot 2y}}<br /> {{x^2 +y^2 }} = \frac{{x \cdot y^2 +x^3 -2 \cdot x \cdot y^2 }}<br /> {{x^2 +y^2 }} = \frac{{x^3 -x \cdot y^2 }}<br /> {{x^2 +y^2 }}<br />

b )

Einsetzen in die Funktionsvorschrift liefert:

<br /> f\left( {t,0} \right) = 0<br />

<br /> f\left( {0,t} \right) = 0<br />

<br /> f\left( {t,t} \right) = \frac{1}<br /> {2}<br />

<br /> f\left( {t,-t} \right)-\frac{1}<br /> {2}<br />

c )

Wir bilden den Grenzwert:

<br /> \frac{{\partial f}}<br /> {{\partial x}}\left( {0,0} \right) = \lim \limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {0+h,0} \right)-f\left( {0,0} \right)}}<br /> {h} = \lim \limits_{h \to 0} \frac{{0-0}}<br /> {h} = 0<br />

Daraus folgt die eindimensionale Stetigkeit in mehreren Richtungen. Wir können so allerdings nicht auf eine zweidimensionale Stetigkeit schließen.

Hierzu die Definition von Stetigkeit:

<br /> \forall \varepsilon > 0\exists \delta > 0:\left\| {f\left( x \right)-f\left( {x \pm \delta } \right)} \right\| < \varepsilon<br />

oder alternativ das Folgenkriterium:

Wenn eine Folge im Definitionsbereich gegen einen Wert konvergiert, dann muss auch der Grenzwert der Folge von Funktionswerten gegen den Funktionswertes des Grenzwertes der Folge konvergieren.
Dies wollen wir testen.

Wir betrachten

<br /> \left( {\frac{1}<br /> {n},\frac{1}<br /> {n}} \right)_n<br />

Es gilt

<br /> f\left( {\frac{1}<br /> {n},\frac{1}<br /> {n}} \right) = \frac{1}<br /> {2}\forall n\quad \Rightarrow \quad \lim f\left( {\frac{1}<br /> {n},\frac{1}<br /> {n}} \right) = \frac{1}<br /> {2}<br />

aber

<br /> f\left( {\lim \left( {\frac{1}<br /> {n},\frac{1}<br /> {n}} \right)} \right) = f\left( {0,0} \right) = 0<br />

Da 0 ungleich 1/2 ist, ist die Funktion nicht stetig in 0,0.

d )

Da die Funktion im Nullpunkt nicht stetig ist, existieren hier auch keine partiellen Ableitungen.

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1 Kommentar zu “13 – mehrdimensionale Funktionen”

Johsen
31. 08. 10 at 1:26 pm

In der Lösung zu Aufgabe a) ist der Nenner nicht korrekt. Hier fehlt jeweils das Quadrat. Ändert natürlich nichts an der Lösung der Aufgabe, aber die Ableitung ist trotzdem nicht richtig! Vielleicht kann man es ja ausbessern. Ebenso fehlt in der Lösung zu b) ein = Zeichen!

Gute Seite zum Nachlesen und Aufgaben rechnen! Danke für die Mühe!

Gruß

Johnsen

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