14 – Dämpfung 09 – Leistung bei Schwingungen

Bei einer gedämpften angeregten Schwingung entsteht eine Leistung. Diese besteht aus einem Wirkanteil und einem Blindanteil, daher spricht man von einer Scheinleistung. Der Wirkanteil bzw. die Wirkleistung ist die im Dämpfer in Wärme umgesetzte Leistung, die Blindleistung hingegen wird nur in der Feder gespeichert und anschließend wieder zurückgegeben. Die beiden Teile der Leistung stehen im Leistungszeigerdiagramm im Winkel von 90 Grad zueinander und bilden vektoriell Addiert die Scheinleistung. Alle drei Leistungskennwerte stehen über den Leistungsfaktor miteinander in Zusammenhang.
Dieser Sachverhalt soll hier näher erläutert werden.

Die Erregerkraft (dynamische Größe), die auf die Masse eines gedämpften Schwingers wirkt, ist

<br /> F\left( t \right) = \hat F\cos \left( {\Omega t} \right)<br />

Die Schwinggeschwindigkeit (kinematische Größe) ist

<br /> v\left( t \right) = \hat v\cos \left( {\Omega t-\gamma } \right)<br />

Gemäß

<br /> v\left( t \right) = \hat v\cos \gamma \cos \left( {\Omega t} \right)+\hat v\sin \gamma \sin \left( {\Omega t} \right)<br />

wird die Schwinggeschwindigkeit zerlegt in einer bezüglich der Kraft gleichphasige Komponente

<br /> v_W \left( t \right) = \hat v\cos \gamma \cos \left( {\Omega t} \right)<br />

und eine um π/2 phasenverschobene Komponente

<br /> v_B \left( t \right) = \hat v\sin \gamma \sin \left( {\Omega t} \right)<br />

Das Produkt aus der Kraft und der In-Phase-Komponente der Schwinggeschwindigkeit ist die Augenblicks-Wirkleistung

<br /> P_W \left( t \right) = F\left( t \right)v_W \left( t \right) = \hat F\hat v\cos \gamma \cos ^2 \left( {\Omega t} \right)<br />

Umformung mit Additionstheorem:

<br /> P_W \left( t \right) = \frac{{\hat F\hat v}}<br /> {2}\cos \gamma \left( {1+\cos \left( {2\Omega t} \right)} \right)<br />

Die Augenblicks-Wirkleistung oszilliert zeitlich mit der doppelten Frequenz und hat den Mittelwert

<br /> P_{W_M} \left( t \right) = \frac{1}{2} \hat F \hat v \cos \gamma<br />

Dieser wird als Wirkleistung bezeichnet und charakterisiert denjenigen Anteil der Leistung, der im Dämpfer irreversibel in Wärme umgesezt wird. Die Phasenverschiebung zwischen Kraft und Schwinggeschwindigkeit geht über cos γ ein; diese Größe heißt Leistungsfaktor.

Um den Vorfaktor 1/2 einzusparen, rechnet man häufig nicht mit den Amplituden (Spitzenwerten, Symbol ^), sondern mit den Effektivwerten (Symbol ~):

<br /> \tilde F = \frac{1}{\sqrt{2}} \hat F<br />

bzw

<br /> \tilde v = \frac{1}{\sqrt{2}} \hat v<br />

Mit den Effektivwerten ausgedrückt ist die Wirkleistung

<br /> P_{W _M} \left( t \right) = \tilde F\tilde v\cos \gamma<br />

Eine analoge Betrachtung lässt sich für das Produkt aus der Krfat und der um π/2 verschobenen Komponente der Schwinggeschwindigkeit anstellen. Man erhält die (ebenfalls oszillierende) Augenblicks-Blindleistung

<br /> P_W \left( t \right) = F\left( t \right)v_W \left( t \right) = \frac{{\hat F\hat v}}<br /> {2}\sin \gamma \sin \left( {2\Omega t} \right) = \tilde F\tilde v\sin \gamma \sin \left( {2\Omega t} \right)<br />

deren Mittelwert

<br /> P_{B _M} \left( t \right) = 0<br />

im Gegensatz zur Wirkleistung stets gleich Null ist. Die Blindleistung kennzeichnet denjenigen Anteil der Leistung, der im Schwinger in Form von kinetischer Energie bzw. potentieller Energie kurzzeitig zwischengespeichert wird, jedoch anschließend vollständig zum Erreger zurückfließt.

Das Produkt

<br /> P_S = \tilde F\tilde v<br />

wird als Scheinleistung bezeichnet.

Blindanteil und Wirkanteil der Leistung

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