14 – Der Dualraum

Sei E ein normierter Raum mit der Norm \left\| \cdot \right\| = {\left\| \cdot \right\|_E} über dem Skalarbereich \mathbb C.

Jede lineare Abbildung l:E \to \mathbb{C} heißt lineares Funktional. Wichtig sind die stetigen Funktionale.

E*: = \left\{ {l:E \to \mathbb{C}} \right\} mit linearem, stetigen l ist selbst ein linearer Raum.

{l_1}+{l_2}:\left( {{l_1}+{l_2}} \right)\left( x \right): = {l_1}\left( x \right)+{l_2}\left( x \right)

\alpha l:\left( {\alpha l} \right)\left( x \right): = \alpha l\left( x \right)

Weiterhin gilt:

l stetig \Leftrightarrow l ist stetig in 0 \Leftrightarrow l ist beschränkt

{\left\| l \right\|_{E*}} = \sup \frac{{\left| {l\left( x \right)} \right|}}<br /> {{\left\| x \right\|}} = \sup \left| {l\left( x \right):\left\| x \right\| = 0} \right| = \sup \left| {l\left( x \right):\left\| x \right\| \leq 1} \right|

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