14 – Differenzierbarkeit und Stetigkeit mehrdimensionaler Funktionen

 

Wir wollen folgende Funktion intensiv untersuchen:

f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}

f\left( {x,y} \right): = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} x \cdot y \cdot \frac{{x^2 -y^2 }} {{x^2 +y^2 }} & \forall \left( {x,y} \right) \ne \left( {0,0} \right) \\ 0 & \left( {x,y} \right) = \left( {0,0} \right) \\ \end{array} } \right.

  1. Untersuchen Sie zunächst f auf Stetigkeit im Ursprung
  2. Berechnen Sie die partiellen Ableitungen:

    \frac{{\partial f}} {{\partial x}}\left( {x,y} \right)\quad \quad und\quad \quad \frac{{\partial f}} {{\partial y}}\left( {x,y} \right)\quad \quad \forall \left( {x,y} \right) \ne \left( {0,0} \right)

  3. Berechnen Sie nun

    \frac{{\partial f}} {{\partial x}}\left( {0,0} \right)\quad \quad und\quad \quad \frac{{\partial f}} {{\partial y}}\left( {0,0} \right)\quad \quad \left( {x,y} \right) = \left( {0,0} \right)

  4. Zeigen Sie, dass auch die folgenden Ableitungen existieren:

    \frac{{\partial ^2 f}} {{\partial x\partial x}}\left( {0,0} \right),\quad \quad \frac{{\partial ^2 f}} {{\partial x\partial y}}\left( {0,0} \right),\quad \quad \frac{{\partial ^2 f}} {{\partial y\partial x}}\left( {0,0} \right),\quad \quad \frac{{\partial ^2 f}} {{\partial y\partial y}}\left( {0,0} \right)

    und dass gilt:

    \frac{{\partial ^2 f}} {{\partial x\partial y}}\left( {0,0} \right) \ne \frac{{\partial ^2 f}} {{\partial y\partial x}}\left( {0,0} \right)

  5. Zeigen Sie, dass f im Ursprung total differenzierbar ist mit der Linearform L(x,y):=0, indem Sie zeigen, dass

    \lim \limits_{\left( {x,y} \right) \to \left( {0,0} \right)} \frac{{f\left( {x,y} \right)}} {{\left\| {\left( {x,y} \right)} \right\|}}

Lösung

Zunächst ein paar Grundlagen.

Differenzierbarkeit

Eine Funktion f:D \to \mathbb{R} heißt differenzierbar, wenn der folgende Grenzwert existiert:

\lim \limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {x+h} \right)-f\left( x \right)}} {h} = f ^{\prime}\left( x \right)

oder wenn gilt (äquivalent):

f\left( {x+h} \right) = f\left( x \right)+h \cdot f ^{\prime}\left( x \right)+O\left( h \right)

mit

\lim \limits_{h \to 0} \frac{{O\left( h \right)}} {h} = 0

Dies wird an der folgenden Abbildung deutlich:

Die Fehlerfunktion O(h) muss “schnell” gegen 0 gehen, so dass sie schneller 0 wird als der Betrag von h.

Hier zwei Beispiele:

Links schmiegt sich die Kurve an die Tangente an. Dadurch wird bei einer Verkleinerung von h die Funktion O(h) schneller klein als h selbst.
Rechts liegt die Tangente an einer Ecke an. Dadurch verkleinern sich O(h) und h linear proportional zueinander, der Grenzwert des Quotienten geht nicht gegen 0.

Partielle Ableitung

Bei einer Funktion f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} sind die beiden partiellen Ableitungen:

\frac{{\partial f}} {{\partial x}} = \frac{d} {{dt}}g\left( {t,y} \right)\quad \quad und\quad \quad \frac{{\partial f}} {{\partial y}} = \frac{d} {{dt}}g\left( {x,t} \right)

“Stetig partiell differenzierbar” bedeutet, dass die partiellen Ableitungen existieren (partiell differenzierbar) und dass diese wieder stetig sind.
Es gilt der Zusammenhang:

\begin{array}{*{20}{c}} \text{stetig partiell differenzierbar} \\ \Downarrow \\ \text{total differenzierbar}\quad \Rightarrow \quad \text{stetig} \\ \Downarrow \\ \text{partiell differenzierbar} \\ \end{array}

Totale Differenzierbarkeit

Analog zu der zweiten Aussage zur Differenzierbarkeit oben gilt für mehrdimensionale Funktionen:

Eine Funktion ist genau dann total differenzierbar, wenn gilt:

g\left( {x+\xi ,y+\eta } \right) = g\left( {x,y} \right)+\nabla g\left( {x,y} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \xi \\ \eta \\ \end{array} } \right)+O\left( {\xi ,\eta } \right)

mit

\lim \limits_{\left( {\xi ,\eta } \right) \to \left( {0,0} \right)} \frac{{O\left( {\xi ,\eta } \right)}} {{\left\| {\xi ,\eta } \right\|}} = 0

a )

Hier ein Schaubild der Funktion:

Um zu zeigen, dass die Funktion im Ursprung stetig ist, müssen wir zeigen, dass der Grenzwert der Funktionswerte einer Folge von Werten im Definitionsbereich gleich dem Funktionswert im Ursprung ist, also dass gilt:

\lim \limits_{\left( {x,y} \right) \to \left( {0,0} \right)} f\left( {x,y} \right) = 0

Dies gilt, weil:

\lim \limits_{\left( {x,y} \right) \to \left( {0,0} \right)} \left\| {x \cdot y \cdot \frac{{x^2 -y^2 }} {{x^2 +y^2 }}} \right\| = \underbrace {\left\| {x \cdot y} \right\|}_{ \to 0} \cdot \underbrace {\left\| {\frac{{x^2 -y^2 }} {{x^2 +y^2 }}} \right\|}_{ \leq 1}

b )

Partielle Ableitungen:

f\left( {x,y} \right) = x \cdot y \cdot \frac{{x^2 -y^2 }} {{x^2 +y^2 }} = \frac{{x^3 y-xy^3 }} {{x^2 +y^2 }}

\frac{{\partial f}} {{\partial x}}\left( {x,y} \right) = \frac{{\left( {3x^2 y-y^3 } \right) \cdot \left( {x^2 +y^2 } \right)-\left( {x^3 y-xy^3 } \right) \cdot 2x}} {{\left( {x^2 +y^2 } \right)^2 }}

= \frac{{3x^4 y+3x^2 y^3 -x^2 y^3 -y^5 -2x^4 y+2x^2 y^3 }} {{\left( {x^2 +y^2 } \right)^2 }} = y\frac{{x^4 +4x^2 y^2 -y^4 }} {{\left( {x^2 +y^2 } \right)^2 }}

\frac{{\partial f}} {{\partial y}}\left( {x,y} \right) = \frac{{\left( {x^3 -3xy^2 } \right) \cdot \left( {x^2 +y^2 } \right)-\left( {x^3 y-xy^3 } \right) \cdot 2y}} {{\left( {x^2 +y^2 } \right)^2 }}

= \frac{{x^5 +x^3 y^2 -3x^3 y^2 -3xy^4 -2x^3 y^2 +2xy^4 }} {{\left( {x^2 +y^2 } \right)^2 }} = x\frac{{x^4 -4x^2 y^2 -y^4 }} {{\left( {x^2 +y^2 } \right)^2 }}

c )

Wir benutzen den Differentialquotienten und betrachten die Grenzwerte:

\frac{{\partial f}} {{\partial x}}\left( {0,0} \right) = \lim \limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {0+h,0} \right)-f\left( {0,0} \right)}} {h} = \frac{{h \cdot 0 \cdot \frac{{h^2 -0^2 }} {{h^2 +0^2 }}-0}} {h} = 0

\frac{{\partial f}} {{\partial y}}\left( {0,0} \right) = \lim \limits_{h \to 0} \frac{{f\left( {0,0+h} \right)-f\left( {0,0} \right)}} {h} = \frac{{0 \cdot h \cdot \frac{{0^2 -h^2 }} {{0^2 +h^2 }}-0}} {h} = 0

d )

Vorgehen: Für fxy(0, 0) setzen wir in der ersten partiellen Ableitung fx(x, y) für x = 0 ein und leiten nach y ab. Dies dürfen wir, da x bei der Ableitung nach y konstant bleibt und anschließend sowieso gleich 0 gesetzt werden soll, wir können es also auch schon vorher tun. Die Ableitung lautet dann:

f_{xy} \left( {0,0} \right) = \left( {y\frac{{0^4 +4 \cdot 0^2 y^2 -y^4 }} {{\left( {0^2 +y^2 } \right)^2 }}} \right)_y = \left( {\frac{{-y^5 }} {{y^4 }}} \right)_y = \left( {-y} \right)_y = -1

Analog dazu:

f_{yx} \left( {0,0} \right) = \left( {x\frac{{x^4 -4x^2 \cdot 0^2 -0^4 }} {{\left( {x^2 +0^2 } \right)^2 }}} \right)_x = \left( {\frac{{x^5 }} {{x^4 }}} \right)_x = \left( x \right)_x = 1

Die beiden Ableitungen sind nicht identisch!

Für die restlichen beiden Ableitungen setzen wir ein:

f_{xx} \left( {0,0} \right) = \left( {0 \cdot \frac{{x^4 +4x^2 \cdot 0^2 -0^4 }} {{\left( {x^2 +0^2 } \right)^2 }}} \right)_x = \left( 0 \right)_x = 0

f_{yy} \left( {0,0} \right) = \left( {0 \cdot \frac{{0^4 -4 \cdot 0^2 y^2 -y^4 }} {{\left( {0^2 +y^2 } \right)^2 }}} \right)_y = \left( 0 \right)_y = 0

Die Ableitungen können auch über den Differentialquotienten bestimmt werden.

e )

Es muss gelten:

f\left( {0+\xi ,0+\eta } \right) = f\left( {0,0} \right)+\nabla f\left( {0,0} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \xi \\ \eta \\ \end{array} } \right)+O\left( {\xi ,\eta } \right) = 0

Der erste Summand ist laut Funktionsvorschrift 0.
Der zweite Summand ist auch 0, da der Gradient aus den partiellen Ableitungen im Punkt (0, 0) besteht, welche alle 0 sind.

Wir müssen also noch zeigen, dass

\lim \limits_{\left( {x,y} \right) \to \left( {0,0} \right)} \frac{{f\left( {x,y} \right)}} {{\left\| {\left( {x,y} \right)} \right\|}} = 0

Einsetzen:

\lim \limits_{\left( {x,y} \right) \to \left( {0,0} \right)} \left\| {\frac{{x \cdot y \cdot \overbrace {\frac{{x^2 -y^2 }} {{x^2 +y^2 }}}^{ \leq 1}}} {{\sqrt {x^2 +y^2 } }}} \right\| \leq \lim \limits_{\left( {x,y} \right) \to \left( {0,0} \right)} \left\| {\frac{{x \cdot y}} {{\sqrt {x^2 +y^2 } }}} \right\|

= \lim \limits_{\left( {x,y} \right) \to \left( {0,0} \right)} \underbrace {\left\| x \right\|}_{ \to 0} \cdot \underbrace {\left\| {\frac{y} {{\sqrt {x^2 +y^2 } }}} \right\|}_{ \leq 1}