15.2 – Separationsansatz, Anfangsrandwertproblem

Wir betrachten die Anfangsradwertaufgabe

${u_t}-{u_{xx}} = t\sin \left( x \right)\quad x \in \left( {0,\pi } \right),t > 0$

$u\left( {0,t} \right) = 0\quad t > 0$

$u\left( {\pi ,t} \right) = 0\quad t > 0$

$u\left( {x,0} \right) = 0$

a) Lösen die das Problem mit einem Separationsansatz

b) Wie gehen Sie vor, wenn außer einer inhomogenen rechten Seite eine inhomogene Anfangsbedingung gegeben ist?

Lösung

a )

Ansatz:

$u\left( {x,t} \right) = \sum\limits_{k = 1}^\infty {{T_k}\left( t \right) \cdot {X_k}\left( x \right)} = \sum\limits_{k = 1}^\infty {{T_k}\left( t \right)\sin \left( {kx} \right)}$

Zu den Eigenfunktionen zu Dirichlet RB vergleiche mit den Vorlesungen.

Stecke Ansatz in DGL

${u_t}-{u_{xx}} = \sum\limits_{}^{} {{T_k}^\prime \left( t \right)\sin \left( {kx} \right)+{k^2}{T_k}\left( t \right)\sin \left( {kt} \right)}$

$\quad = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\left[ {{T_k}^\prime \left( t \right)+{k^2}{T_k}\left( t \right)} \right]\sin \left( {kx} \right)} = \underbrace {t\sin \left( x \right)}_{RHS\quad von\quad PDGL}$

jetzt machen wir einen Koeffizientenvergleich zwischen Links und Rechs:

$k = 1:\quad {T^\prime }\left( t \right)+T\left( t \right) = t$

$k > 1:\quad {T_k}^\prime \left( t \right)+{k^2}{T_k}\left( t \right) = 0 \Rightarrow {T_k} = 0\quad \left( {da\quad u\left( 0 \right) = 0} \right)$

Löse also:

${T^\prime }+T = t$

Lösungszusammenhang mit homogener DGL:

$C{e^{-t}}$

Lösung der inhomogenen DLG:
Summe aus allgemeiner Lösung der homogenen DGL + spezielle Lösung:

Variation der Konstanten
„Qualifiziertes Raten“

Vermutung:

${T_s} = ct+d$

Einsetzten:

$c+ct+d = t \Rightarrow c = 1$

$d = -1$

also:

$T\left( t \right) = C{e^{-t}}+t-1$

$u\left( {x,t} \right) = \left( {C{e^{-t}}+t-1} \right) \cdot \sin \left( x \right)$

mit den Anfangswerten:

$u\left( {x,0} \right) = \left( {C-1} \right)\sin \left( x \right) = 0 \Rightarrow C = 1$

Und so:

$u\left( {x,t} \right) = \left( {{e^{-t}}+t-1} \right)\sin \left( x \right)$

b )

Was machen wir, wenn wir außer der inhomogenen rechten Seite auch eine inhomogene AB gegeben haben?

$\begin{array}{*{20}{c}} {{u_{1,t}}-{u_{1,xx}} = 0} &\vline & {{u_{2,t}}-{u_{2,xx}} = f} \\ {{u_1}\left( {x,0} \right) = {u_0}} &\vline & {{u_2}\left( {x,0} \right) = 0} \\ \end{array}$