Vorlesung Donnerstag-Thema: Satz von Riesz
Sei ein Hilbert-Raum. Jedem
können wir das Funktional
zuordnen. Wegen ist
linear. Wegen der Schwarzschen Ungleichung ist die beschränkte Linearform
Element des Dualraums . Es gilt:
Wir kommen zur Abbildung
Wir prüfen nun, ob sich die Abbildung umkehren lässt (ob
eine Bijektion ist). Dazu fixiere
und setze
und stelle die Variationsaufgabe

Wegen der Abschätzung (nach unten)
Es gilt:
Auf die Variationsaufgabe angewandt:
Daraus folgt:
Es muss also ein Minimum geben:
Konstruiere eine Minimalfolge
mit
Parallelogrammregel:
Also ist
Daher ist eine Cauchy-Folge, konvergent gegen ein
Da stetig ist, folgt
und
ist ein Minimum. Insbesondere gilt für alle
und
:
oder
Wähle zudem . Division der Gleichung durch
liefert
für
Die Ungleichung wird zu einer Gleichung, da für gilt:
und für
gilt:
(Umkehrung durch Division durch negative Zahl)
Wähle nun
Nach Division durch und Grenzübergang
folgt:
Insgesamt ist dann
also
Dieses die Linearform darstellende
ist eindeutig, denn seien
denn wählen wir und erhalten so
.
Erklärung:
Außerdem können wir abschätzen:
Also
und die Bijektion ist eine Isometrie. Sie ist antilinear, weil das Skalarprodukt antilinear ist im zweiten Argument.
Insgesamt erhalten wir den Riesz’schen Darstellungssatz
Zu jedem gibt es genau ein
so dass
Die zugehörige Abbildung ist eine bijektive antilineare Isometrie.
Antilinear:
Erklärung für die Antilinearität im zweiten Argument:
Skalarprodukt im Funktionenraum :
Also:

Diesen Darstellungssatz erweiern wir, indem wir durch eventuell unsymmetrische Sesquilinearform
ersetzen.
Also: ist linear,
antilinear
Anstelle der Cauchy-Schwarz-Ungleichung verlangen wir nun:
ist beschränkt, d.h.
Anstelle der Definiertheit verlangen wir, dass koerziv ist, d.h.
Satz von Lax-Milgram
wie oben. Dazu gibt es eine Bijektion
, so dass