15 – Stetigkeit und Richtungsableitungen

 

Betrachten Sie die Funktion

f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}^2

f\left( {x,y} \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    \frac{{x^2 y}} {{x^4 +y^2 }} & \forall \left( {x,y} \right) \neq \left( {0,0} \right)  \\    0 & \left( {x,y} \right) = \left( {0,0} \right)  \\   \end{array} } \right.

  1. Zeigen Sie: Für jedes e \in \mathbb{R}^2 ,\quad \left\| e \right\| = 1 existiert die Richtungsableitung von f in Richtung e im Ursprung:

    D_e f\left( {0,0} \right)

  2. Zeigen Sie: f ist nicht stetig im Ursprung (Hinweis: Dazu empfiehlt es sich, sich dem Ursprung mit einer geeigneten Folge (xn, yn)n zu nähern.)
  3. Aus (a) und der Definition von f(x, y) für (x, y) ≠ (0, 0) folgt insbesondere, dass f auf ganz R2 partiell differenzierbar ist. Sind die partiellen Ableitungen beide stetig im Ursprung?
    (Hinweis: Zur Beantwortung dieser Frage ist es nicht notwendig, die partiellen Ableitungen zu bestimmen.)

Lösung

Hier ein Schaubild der Funktion:

a )

Wir bilden zunächst die zusammengesetzte Richtungsfunktion.

Funktion:

f\left( {x,y} \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    \frac{{x^2 y}} {{x^4 +y^2 }} & \forall \left( {x,y} \right) \ne \left( {0,0} \right)  \\    0 & \left( {x,y} \right) = \left( {0,0} \right)  \\   \end{array} } \right.

Richtung:

e = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    a  \\    b  \\   \end{array} } \right),\quad \left\| e \right\| = 1

Richtungsfunktion:

f_e \left( t \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    \frac{{\left( {a \cdot t} \right)^2 \left( {b \cdot t} \right)}} {{\left( {a \cdot t} \right)^4 +\left( {b \cdot t} \right)^2 }} & \forall t \ne 0  \\    0 & t = 0  \\   \end{array} } \right. = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    \frac{{a^2  \cdot t \cdot b}} {{a^4  \cdot t^2 +b^2 }} & \forall t \ne 0  \\    0 & t = 0  \\   \end{array} } \right.

Kann der Nenner 0 werden?

Fallunterscheidung:
1. b = 0

Da die Funktionsvorschrift nur \forall \left( {x,y} \right) \ne \left( {0,0} \right) gilt, und b schon 0 ist, kann a nicht mehr 0 sein.
Bei a ≠ 0 gilt aber:

b = 0,\quad a \ne 0\quad  \Rightarrow \quad \frac{{a^2  \cdot t \cdot b}} {{a^4  \cdot t^2 +b^2 }} = 0\quad \forall t\quad  \to {\text{differenzierbar bei t = 0}}

2. b ≠ 0
Wenn b ungleich 0 ist, kann a entweder 0 oder ungleich 0 sein. Bei t = 0 wird die Funktion aber auf jeden Fall 0, ist also differenzierbar.

b )

Stetigkeit bedeutet, dass es möglich ist, in einer kleinen Kugel um den betrachteten Punkt zu “wackeln”, ohne dass sich die Höhe des Funktionswertes stark ändert.
Um zu zeigen, dass die Funktion im Ursprung nicht stetig ist, ist nun also eine Folge gesucht, die gegen (0, 0) konvergiert. Es muss gelten:

\left( {x_n ,y_n } \right)_n  \to \left( {0,0} \right)\quad mit\quad \lim \left( {f\left( {x_n ,y_n } \right)} \right)_n  \ne 0

Eine Folge, die diese Forderung erfüllt, ist z.B.:

\left( {\frac{1} {n},\frac{1} {{n^2 }}} \right)_n

denn es gilt:

\lim \left( {f\left( {x_n ,y_n } \right)} \right)_n  = \lim \left( {f\left( {\frac{1} {n},\frac{1} {{n^2 }}} \right)} \right)_n  = \lim \left( {\frac{{\frac{{1^2 }} {{n^2 }}\frac{1} {{n^2 }}}} {{\frac{{1^4 }} {{n^4 }}+\frac{1} {{n^4 }}}}} \right)_n  = \frac{{n^4 }} {{n^4  \cdot 2}} = \frac{1} {2} \ne 0

Somit ist die Funktion unstetig im Ursprung.

c )

Da die Funktion selbst schon nicht stetig im Ursprung ist, können es die partiellen Ableitungen auch nicht sein.