16.1 – Energieabschätzung

 

Sei u mit u\left( { \cdot ,t} \right) \in H_0^1\left( \Omega \right) die Lösung von

\left( {{u_t},\varphi } \right)+a\left( {u,\varphi } \right) = \left( {f,\varphi } \right)\quad \forall \varphi \in H_0^1\left( \Omega \right)

u\left( { \cdot ,0} \right) = {u_0}\left( \cdot \right)\quad a\left( {u,\varphi } \right) = \int\limits_\Omega {\nabla u \cdot \nabla \varphi d\omega }

In der Vorlesung wurden die Energieabschätzungen

\left\| {u\left( { \cdot ,x} \right)} \right\|_{{L^2}\left( \Omega \right)}^2+\int_0^t {\left\| {\nabla u\left( { \cdot ,s} \right)} \right\|} _{{L^2}\left( \Omega \right)}^2ds \leq \left\| {{u_0}} \right\|_{{L^2}\left( \Omega \right)}^2+C\int_0^t {\left\| {f\left( { \cdot ,s} \right)} \right\|_{{L^2}\left( \Omega \right)}^2ds}

\left\| {u\left( { \cdot ,t} \right)} \right\|_{{L^2}\left( \Omega \right)}^2+\int_0^t {\left\| {{u_t}\left( { \cdot ,s} \right)} \right\|} _{{L^2}\left( \Omega \right)}^2ds \leq \left\| {\nabla {u_0}} \right\|_{{L^2}\left( \Omega \right)}^2+\int_0^t {\left\| {f\left( { \cdot ,s} \right)} \right\|_{{L^2}\left( \Omega \right)}^2ds}

durch Testen der schwachen Form mit u bzw. {u_t} gezeigt. Zeigen Sie mit Hilfe der Energiemethode, dass es eine Konstante C = C\left( t \right) gibt mit

\int_0^t {s\left\| {u\left( { \cdot ,t} \right)} \right\|_{{L^2}\left( \Omega \right)}^2ds} \leq C\left( {\left\| {{u_0}} \right\|_{{L^2}\left( \Omega \right)}^2+\int_0^t {\left\| {f\left( { \cdot ,s} \right)} \right\|_{{L^2}\left( \Omega \right)}^2ds} } \right)

Lösung

Energieabschätzungen von

\left( {{u_t},\varphi } \right)+a\left( {u,\varphi } \right) = \left( {f,\varphi } \right)

u\left( { \cdot ,0} \right) = {u_0}\left( \cdot \right)

Vorgehen: Wähle \varphi geeignet und schätze ab.

\varphi = u

\left\| {u\left( { \cdot ,x} \right)} \right\|_{{L^2}\left( \Omega \right)}^2+\int_0^t {\left\| {\nabla u\left( { \cdot ,s} \right)} \right\|} _{{L^2}\left( \Omega \right)}^2ds \leq \left\| {{u_0}} \right\|_{{L^2}\left( \Omega \right)}^2+C\int_0^t {\left\| {f\left( { \cdot ,s} \right)} \right\|_{{L^2}\left( \Omega \right)}^2ds}

\varphi = {u_t}

\left\| {u\left( { \cdot ,t} \right)} \right\|_{{L^2}\left( \Omega \right)}^2+\int_0^t {\left\| {{u_t}\left( { \cdot ,s} \right)} \right\|} _{{L^2}\left( \Omega \right)}^2ds \leq \left\| {\nabla {u_0}} \right\|_{{L^2}\left( \Omega \right)}^2+\int_0^t {\left\| {f\left( { \cdot ,s} \right)} \right\|_{{L^2}\left( \Omega \right)}^2ds}

Mithilfe dieser Formel können wie die Lösung abschätzen und damit kann auch bei nichtlinearen Problemen Eindeutigkeit gezeigt werden.

Zeige:

\int_0^t {s\left\| {u\left( { \cdot ,t} \right)} \right\|_{{L^2}\left( \Omega \right)}^2ds} \leq C\left( {\left\| {{u_0}} \right\|_{{L^2}\left( \Omega \right)}^2+\int_0^t {\left\| {f\left( { \cdot ,s} \right)} \right\|_{{L^2}\left( \Omega \right)}^2ds} } \right)

Integriere die schwache Form von 0 bis t .

\int_0^t {\left( {{u_t}\left( {x,s} \right),\varphi } \right)+a\left( {u\left( {x,s} \right),\varphi } \right)ds} = \int_0^t {\left( {f,\varphi } \right)ds}

\int_0^t {\left( {{u_t}\left( {x,s} \right),\varphi } \right)ds} = \int_0^t {-a\left( {u\left( {x,s} \right),\varphi } \right)+\left( {f\left( {x,s} \right),\varphi } \right)ds}

Teste diese Gleichung mit \varphi = s \cdot {u_t}\left( {x,s} \right)

\underbrace {\int_0^t {\left( {{u_t}\left( {x,s} \right),s \cdot {u_t}\left( {x,s} \right)} \right)ds} }_{\left( * \right)} = \int_0^t {-a\left( {u\left( {x,s} \right),s \cdot {u_t}\left( {x,s} \right)} \right)+\left( {f\left( {x,s} \right),s \cdot {u_t}\left( {x,s} \right)} \right)ds}

\left( * \right) = \int_0^t {s\left\| {{u_t}} \right\|_{{L^2}\left( \Omega \right)}^2ds}

Es bleibt noch die rechte Seite:

Zunächst

\int_0^t {\left( {f\left( {x,s} \right),s{u_t}\left( {x,s} \right)} \right)ds}

\overbrace \leq ^{CSU}\int_0^t {{{\left\| f \right\|}_{{L^2}\left( \Omega \right)}} \cdot s \cdot {{\left\| {{u_t}} \right\|}_{{L^2}\left( \Omega \right)}}ds}

\overbrace \leq ^{\left( \# \right)}\frac{1}{2}\int_0^t {\left\| f \right\|_{{L^2}\left( \Omega \right)}^2+s \cdot \left\| {{u_t}} \right\|_{{L^2}\left( \Omega \right)}^2ds}

\left( \# \right)\:mit\:\quad ab \leq \frac{1}{2}\left( {{a^2}+{b^2}} \right)

Fehlt noch:

\int_0^t {-\underbrace {\left( {\nabla u,s\nabla {u_t}} \right)}_{a\left( {u,s{u_t}} \right)}ds} = \int_0^t {-s\left( {\nabla u,\nabla {u_t}} \right)ds}

= \int_0^t {-\frac{\partial }{{\partial t}}{{\left\| {\nabla u} \right\|}^2}\frac{s}{2}ds} = \underbrace {-\left[ {\overbrace {\frac{s}{2}{{\left\| {\nabla u} \right\|}^2}}^{ > 0}} \right]_0^t}_{ < 0}+\int_0^t {\frac{1}{2}{{\left\| {\nabla u} \right\|}^2}ds}

\leq \int_0^t {\frac{1}{2}{{\left\| {\nabla u} \right\|}^2}ds}

\leq {\left\| {u_0^2} \right\|_{{L^2}\left( \Omega \right)}}+C\int_0^t {\left\| {f\left( { \cdot ,s} \right)} \right\|_{{L^2}\left( \Omega \right)}^2ds}

Dabei haben wir partiell integriert und die Energieabschätzung aus der Vorlesung verwendet.

f \cdot {f^\prime } = {\left( {\frac{1}{2}{f^2}} \right)^\prime }

\int\limits_\Omega {\nabla u\nabla {u_t}} = \int\limits_\Omega {\frac{d}{{dt}}\frac{1}{2}{{\left( {\nabla u} \right)}^2}} = \int\limits_\Omega {\frac{2}{2}\nabla u\nabla {u_t}}

nun setzen wir alle Teile zusammen und die Abschätzung ist fertig.

Die Schwierigkeit bei dieser Aufgabe besteht im Finden der richtigen Testfunktion. Es ist außerdem sinnvoll andere Energieabschätzungen zu kennen. Ansonsten braucht man noch die Cauchy-Schwarz-Ungleichung, ab \leq \frac{1} {2}\left( {{a^2}+{b^2}} \right), sowie die Poincaré-Ungleichung.

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