16.3 – Abschätzung Anfangsrandwertproblem

 

Wir betrachten das Anfangsrandwertproblem

{u_t}-\Delta u-au = 0\quad \left( {x,t} \right) \in \Omega \times \left( {0,T} \right]

u = 0\quad \left( {x,t} \right) \in \Gamma \times \left( {0,T} \right]

u\left( {x,0} \right) = {u_0}\left( x \right)\quad \left( {x,t} \right) \in \Omega \times \left\{ 0 \right\}

mit gegeben konstanten a (über das Vorzeichen von a wollen wir keine Aussage treffen). Zeigen Sie

{\left\| {u\left( { \cdot ,t} \right)} \right\|_{{L^2}\left( \Omega \right)}} \leq {e^{\alpha t}}{\left\| {{u_0}} \right\|_{{L^2}\left( \Omega \right)}}

Hinweis: Betrachten Sie die Funktion w = {e^{-\alpha t}}

Lösung

{w_t} = -\alpha{e^{-\alpha t}}u+{e^{-\alpha t}}{u_t}

\Delta w = {e^{-\alpha t}}\Delta u

Multipliziere die Partielle Differentialgleichung mit {e^{-\alpha t}}

0 = {e^{-\alpha t}}{u_t}-\Delta u{e^{-\alpha t}}-\alpha{e^{-\alpha t}}u

\quad = \underbrace {{e^{-\alpha t}}{u_t}-\alpha{e^{-\alpha t}}u}_{{w_t}}\underbrace {-\Delta u{e^{-\alpha t}}}_{-\Delta w}

\quad = {w_t}-\Delta w

Wir setzten nur die Abschätzung aus Aufgabe 2 eine:

\int\limits_\Omega {{{\left( {{e^{-\alpha t}}} \right)}^2}{u^2}d\omega } = \int\limits_\Omega {{w^2}d\omega } \leq \int\limits_\Omega {{w^2}\left( { \cdot ,0} \right)d\omega } =  \int\limits_\Omega {u_0^2d\omega } \quad \left| {{{\left( {{e^{\alpha t}}} \right)}^2}} \right.

\Rightarrow \int\limits_\Omega {{u^2}d\omega \leq {{\left( {{e^{\alpha t}}} \right)}^2}\int\limits_\Omega {u_0^2d\omega } }

Wurzel:

\Rightarrow {\left\| u \right\|_{{L^2}\left( \Omega \right)}} \leq {e^{\alpha t}}{\left\| {{u_0}} \right\|_{{L^2}\left( \Omega \right)}}