16 – Variationsprobleme

 

Voraussetzung

b:H \times H \to \mathbb{C} Sesquilinearform

beschränkt: \left| {b\left( {x,y} \right)} \right| \leq {c_b}\left\| x \right\|\left\| y \right\|

koerziv: \exists {c_k} > 0:\left| {b\left( {x,x} \right)} \right| \geq {c_k}{\left\| x \right\|^2}

Variationsproblem

Aufgabe: Finde zu vorgegebenem x \in H ein u \in H:

b\left( {y,u} \right) = \left\langle {x,y} \right\rangle ,\quad \forall y \in H

Aussage von Lax-Milgramm:

Es git einen “Lösungsgenerator”

R:H \to H,\quad x \mapsto Rx = :u

R ist linear und stetig, Bijektion mit

\left\| R \right\| = \mathop {\sup }\limits_{x \ne 0} \frac{{\left\| {Rx} \right\|}} {{\left\| x \right\|}} \leq c_k^{-1};\quad \left\| {{R^{-1}}} \right\| \leq {c_k} \in {H^*}

wegen

{\left\| {b\left( { \cdot ,x} \right)} \right\|_{{H^*}}} \leq {c_b}{\left\| x \right\|_H}

Nach Darstellungssatz von Riesz gibt es genau ein T\left( x \right) \in H mit

b\left( {y,x} \right) = \left\langle {y,T\left( x \right)} \right\rangle ,\quad \forall y \in H

Da die beiden Formen rechts und links sesquilinear sind, ist T:H \to H linear und wegen

\left\| {Tx} \right\|_H^2 = \left\langle {Tx,Tx} \right\rangle  = b\left( {Tx,x} \right) \leq {c_b}{\left\| {Tx} \right\|_H}{\left\| x \right\|_H}

{\left\| {Tx} \right\|_H} \leq {c_b}{\left\| x \right\|_H}

beschränkt, also stetig.

Wegen

{c_k}{\left\| x \right\|_H} \leq \left| {b\left( {x,x} \right)} \right| = \left| {\left\langle {x,Tx} \right\rangle } \right| \leq {\left\| x \right\|_H}{\left\| {Tx} \right\|_H}

folgt für den Nullraum N\left( T \right) = \left\{ {{0_H}} \right\}

Weiter folgt daraus, dass der Bildraum B\left( T \right) abgeschlossen ist:

Betrachte hierzu eine Folge \left\{ {{x_\nu }} \right\} mit T{x_\nu } \to y

Dann ergibt sich

\left\| {{x_\nu }-{x_\mu }} \right\| \leq c_k^{-1}\left\| {T\left( {{x_\nu }-{x_\mu }} \right)} \right\| = c_k^{-1}\left\| {T{x_\nu }-T{x_\mu }} \right\|

Somit ist \left\{ {{x_\nu }} \right\} eine Cauchy-Folge, also konvergent gegen ein x \in H und wegen der Stetigkeit von T folgt T{x_\nu } \to Tx = y

Damit erhalten wir

H = B\left( T \right) \oplus B{\left( T \right)^ \bot }

Sei z \in B{\left( T \right)^ \bot }

Dann ist \left\langle {z,Tx} \right\rangle  = 0\quad \forall x \in H

Damit gilt insbesondere \left\langle {z,Tz} \right\rangle  = 0

= b\left( {z,z} \right) \geq {c_k}\left\| z \right\|_H^2 \geq 0

Und damit ist z=0

Also: H = B\left( T \right) und T ist eine Bijektion.

Setze R: = {T^{-1}}

Dann ist b\left( {y,Rx^{\prime}} \right) = \left\langle {y,x^{\prime}} \right\rangle \quad \forall y \in H

Der Operator leistet das Gewünschte

Es ist:

{c_k}{\left\| x \right\|_H} \leq {\left\| {Tx} \right\|_H}

Anwendung

Als Anwendung von Lax-Milgram betrachten wir folgendes Variationsproblem:

Gesucht: u \in H so dass b\left( {u,v} \right) = f\left( v \right)\quad \forall v \in H

Hierbei ist f:H \to \mathbb{C} stetig und antilinear (f\left( {\alpha v} \right) = \overline \alpha  f\left( v \right)) wie b\left( {u, \cdot } \right).

Dazu konjugiere komplex die Variationsgleichung und setze

{b^*}\left( {v,u} \right): = \overline {b\left( {u,v} \right)}  = \overline f \left( v \right) = :l\left( v \right) = \left\langle {v,x} \right\rangle

wobei l \in {H^*} und wegen Riesz {\exists ^1}x:x = J\left( l \right)

Zudem ist {b^*} eine beschränkte, koerzive Sesquilinearform, sogenannte adjungierte Sesquilinearform. Hierzu gibt es nach Lax-Milgram einen Lösungsoperator

{R^*}:H \to H

und

u = {R^*}x = \left( {{R^*} \circ J} \right)\left( l \right) = \left( {{R^*} \circ J} \right)\overline f