17 – Fourierreihen

Zu einer $2\pi$ -Periodischen Funktion $f:\left[ {-\pi ,\pi } \right] \to \mathbb{R}$ wird die zugehörige Fourierreihe definiert durch

${S_\infty } = \frac{{{a_0}}}{2}+\sum\limits_{k = 1}^\infty {\left[ {{a_k}\cos \left( {kx} \right)+{b_k}\sin \left( {kx} \right)} \right]}$

${a_k} = \frac{1}{\pi }\int_{-\pi }^\pi {f\left( x \right)\cos \left( {kx} \right)dx}$

${b_k} = \frac{1}{\pi }\int_{-\pi }^\pi {f\left( x \right)\sin \left( {kx} \right)dx}$

Wann es ausreicht nur die ${b_k}$ oder nur die ${a_k}$ auszurechnen, wurde bereits auf Blatt 10 diskutiert.

Aufgabenstellung Teil 1

Wie ist

punktweise Konvergenz
gleichmäßige Konvergenz
Konvergenz im ${L^2}\left( \Omega \right)$ einer Funktionenfolge ${f_n}:\Omega \to \mathbb{R}$ mit Grenzfunktion $f:\Omega \to \mathbb{R}$ definiert?

Welche Beziehung besteht zwischen den einzelnen Konvergenzarten?

Aufgabenstellung Teil 2

Zeigen Sie

Die Partialsummen der Fourierreihen lassen sich auch als Faltung darstellen:

${S_n}\left( x \right) = {D_n} \cdot f\left( x \right)$

$\quad = \frac{1}{{2\pi }}\int_{-\pi }^\pi {{D_n}\left( {x-y} \right)f\left( y \right)dy} = \frac{1}{{2\pi }}\int_{-\pi }^\pi {{D_n}\left( z \right)f\left( {x-z} \right)dz}$

${D_n}\left( y \right) = \left[ {1+2\sum\limits_{k = 1}^n {\cos \left( {ky} \right)} } \right]$

Bemerkung: ${D_n}$ heißt Dirichletkern, man kann mit vollständiger Induktion zeigen, dass

${D_n}\left( x \right) = \frac{{\sin \left( {\left( {n+\frac{1}{2}} \right)x} \right)}}{{\sin \left( {\frac{x}{2}} \right)}}$

gilt.

Aufgabenstellung Teil 3

Sei $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ eine Riemann-integrierbare $2\pi$ -periodische Funktion.

Existieren im Punkt die einseitigen Grenzwerte und die einseitigen Ableitungen von , so konvergiert die zugehörige Fourierreihe im Punkt gegen
$\frac{{f\left( {{x^+}} \right)+f\left( {{x^-}} \right)}}{2}$

wobei $f\left( {{x^+}} \right)$ und $f\left( {{x^-}} \right)$ den rechts- und linksseitigen Grenzwert bezeichnen.

Hinweis: Verwenden Sie die Darstellung als Faltung und das Riemann’sche Lemma, das besagt:

$\lim \limits_{k \to \infty } \int_a^b {f\left( t \right)\cos \left( {kt} \right)dt} = \lim \limits_{k \to \infty } \int_a^b {f\left( t \right)\sin \left( {kt} \right)dt} = 0$

falls Riemann-integrierbar ist.
Fordert man nun, auch noch, dass $f:\left[ {-\pi ,\pi } \right] \to \mathbb{R}$ eine stetige und stückweiße differenzierbare Funktion ist, dann konvergiert die Fourierreihe gleichmäßig gegen .
Wir veranschaulichen uns, dass diese Voraussetzungen wirklich notwendig sind:

Ist beschränkt, stückweise stetig differenzierbar und an nur einem Punkt in $\left[ {-\pi ,\pi } \right]$ unstetig, so konvergiert die Fourierreihe nicht gleichmäßig.

Hinweis: Plotten Sie die Partialsummen der Heavysidefunktion.

Aufgabenstellung Teil 4

Sei $f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ eine $2\pi$ -periodische Funktion mit $f \in {L^2}\left( {\left[ {-\pi ,\pi } \right]} \right)$ .

Dann lässt sich als Fourierreihe darstellen. Zeigen Sie dazu, dass $span\left\{ {\cos \left( {nx} \right),\sin \left( {nx} \right)} \right\}_{n = 0}^\infty$ ein vollständiges Orthogonalsystem bildet.
Die Fourierreihenentwicklung, die jeder Funktion ihre Fourierkoeffizienten zuordnet, ist ein isometrischer Isomorphismus zwischen ${L^2}\left( {\left[ {-\pi ,\pi } \right]} \right)$ und ${l^2}$ . Was folgt also für die Fourierkoeffizienten einer ${L^2}$ Funktion?
Ist nun $f \in {H^1}\left( {\left[ {-\pi ,\pi } \right]} \right),\quad f \in {H^2}\left( {\left[ {-\pi ,\pi } \right]} \right)$ . Was kann man über die Fourierkoeffizienten weiter sagen?

Lösung Teil 1

a )

Punktweise Konvergenz, die „schwächste“ Aussage:

$\forall x \in \Omega \quad {f_n}\left( x \right) \mathop \to \limits_{n \to \infty } f\left( x \right)$

Beispiel:

${f_n}\left( x \right) = {x^n}\quad x \in \left[ {0,1} \right]$

$f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {0\quad f\ddot ur\:x \in \left[ {0,1} \right)} \hfill \\ {1\quad f\ddot ur\:x = 1\quad } \hfill \\ \end{array} } \right.$

b )

Gleichmäßige Konvergenz:

$\lim \limits_{n \to \infty } {\left\| {{f_n}-f} \right\|_{{L^\infty }\left( \Omega \right)}} = 0$

c )

${L^2}$ -Konvergenz:

$\lim \limits_{n \to \infty } \int\limits_\Omega {{{\left( {{f_n}-f} \right)}^2}dx} = 0$

Dies entspricht einen „wanderten“ Buckel. Wir können nur mehrere Funktionen aufstellen:

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{f_1}\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1\quad f\ddot ur\:x \in \left[ {0,\frac{1} {4}} \right)} \hfill \\ {0\quad sonst\quad } \hfill \\ \end{array} } \right.} & {{f_2}\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1\quad f\ddot ur\:x \in \left[ {\frac{1} {4},\frac{2} {4}} \right)} \hfill \\ {0\quad sonst\quad } \hfill \\ \end{array} } \right.} \\ {{f_3}\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1\quad f\ddot ur\:x \in \left[ {\frac{2} {4},\frac{3} {4}} \right)} \hfill \\ {0\quad sonst\quad } \hfill \\ \end{array} } \right.} & {{f_4}\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1\quad f\ddot ur\:x \in \left[ {\frac{4} {4},1} \right)} \hfill \\ {0\quad sonst\quad } \hfill \\ \end{array} } \right.} \\ \end{array} $

Es gilt:

Aus Gleichmäßiger Konvergenz folgt punktweise und ${L^2}$ -Konvergenz.
Aus Punktweiser Konvergenz folgt ${L^2}$ -Konvergenz.
Aus der ${L^2}$ -Konvergenz folgt keine andere Konvergenz.

Diese Funktionenreihe konvergiert also zwar in L² gegen 0, aber nicht gleichmäßig gegen 0 und in keinem Punkt gleichmäßig gegen 0

Lösung Teil 2

${S_\infty } = \frac{{{a_0}}}{2}+\sum\limits_{k = 1}^\infty {\left[ {{a_k}\cos \left( {kx} \right)+{b_k}\sin \left( {kx} \right)} \right]}$

$\quad = \frac{1}{\pi }\int_{-\pi }^\pi {\frac{{\cos \left( 0 \right)}}{2}f\left( y \right)dy} +\frac{1}{\pi }\sum\limits_{k = 1}^n {\int_{-\pi }^\pi {f\left( y \right)\cos \left( {ky} \right)\cos \left( {kx} \right)dy}}$

$+\int_{-\pi }^\pi {f\left( y \right)\sin \left( {ky} \right)\sin \left( {kx} \right)dy}$

$\quad = \frac{1}{{2\pi }}\int_{-\pi }^\pi {\left[ {1+2 \cdot \sum\limits_{k = 1}^n {\left( {\cos \left( {ky} \right)\cos \left( {kx} \right)+\sin \left( {ky} \right)\sin \left( {kx} \right)} \right)} } \right]f\left( y \right)dy}$

$\quad = \frac{1}{{2\pi }}\int_{-\pi }^\pi {\left[ {1+2\sum\limits_{k = 1}^n {\cos \left( {k\left( {x-y} \right)} \right)} } \right]f\left( y \right)dy}$

$\quad = \frac{1}{{2\pi }}\int_{-\pi }^\pi {{D_n}\left( {x-y} \right)f\left( y \right)dy}$

Zur Umformung haben wir im ersten Schritt die Definition der Funktion eingesetzt, im zweiten Schritt die Summation und Integration vertauscht, und im dritten Schritt ein Additionstheorem angewendet:

$\cos \left( u \right)\cos \left( v \right)+\sin \left( u \right)\sin \left( v \right) = \cos \left( {u-v} \right)$

Jetzt substituieren wir

x-y = z

y = x-z

dy = -dz

${S_\infty } = \frac{1}{{2\pi }}\int_{-\pi }^\pi {{D_n}\left( {x-y} \right)f\left( y \right)dy}$

$\quad = \frac{1}{{2\pi }}\int_{x+\pi }^{x-\pi } {{D_n}\left( z \right)f\left( {x-z} \right)\left( {-1} \right)dz}$

$\quad = \frac{1}{{2\pi }}\int_{-\pi }^\pi {{D_n}\left( z \right)f\left( {x-z} \right)dz}$

Nun sind wir fertig.

Da die Funktion 2 $\pi$ periodisch ist können wir das x in der Integrationsgrenze weglassen.

Lösung Teil 3

$ {S_n} = \frac{1} {{2\pi }}\int_{-\pi }^\pi {{D_n}\left( z \right)f\left( {x-z} \right)dz} $

$ \quad = \underbrace {\frac{1} {{2\pi }}\int_{-\pi }^0 {{D_n}\left( z \right)f\left( {x-z} \right)dz} }_{\frac{1} {2}f\left( {{x^+}} \right)}+\underbrace {\frac{1} {{2\pi }}\int_0^\pi {{D_n}\left( z \right)f\left( {x-z} \right)dz} }_{\frac{1} {2}f\left( {{x^-}} \right)} $

hier haben wir das Integral aufgeteilt und betrachten nun die Einzelnen Integrale für den Linkseitigen Grenzwert und den Rechtsseitigen Grenzwert. Diese müssen je gegen die Formel unter dem Integral gehen.
Wir überprüfen das mit punktweiser Konvergenz:

Betrachte:

$ \quad \lim \limits_{n \to \infty } \left( {\frac{1} {{2\pi }}\int_{-\pi }^0 {{D_n}\left( z \right)f\left( {x-z} \right)dz} -\frac{1} {2}f\left( {{x^+}} \right)} \right) $

$ = \lim \limits_{n \to \infty } \left( {\frac{1} {{2\pi }}\int_{-\pi }^0 {\left[ {f\left( {x-z} \right)-f\left( {{x^+}} \right)} \right]{D_n}\left( z \right)dz} } \right) $

mit

$ f\left( {{x^+}} \right){D_n}\left( z \right) = f\left( {{x^+}} \right)\left[ {1+2\sum\limits_{k = 1}^n {\cos \left( {kz} \right)} } \right] $

$ {D_n}\left( z \right) = \frac{{\sin \left( {\left( {n+\frac{1} {2}} \right)x} \right)}} {{\sin \left( {\frac{x} {2}} \right)}} $

ergibt sich weiter:

$ = \lim \limits_{n \to \infty } \left( {\frac{1} {{2\pi }}\int_{-\pi }^0 {\underbrace {\frac{{f\left( {x-z} \right)-f\left( {{x^+}} \right)}} {{\sin \left( {\frac{z} {2}} \right)}}}_{g\left( z \right)} \cdot \sin \left( {\left( {n+\frac{1} {2}} \right)z} \right)dz} } \right) $

$ \lim \limits_{z \to 0+} \left( {\frac{{f\left( {x-z} \right)-f\left( {{x^+}} \right)}} {{\sin \left( {\frac{z} {2}} \right)}}} \right) = \lim \limits_{z \to 0+} \left( {g\left( z \right)} \right) $

$ \quad = \lim \limits_{z \to 0} \underbrace {\frac{{f\left( {x-z} \right)-f\left( {{x^+}} \right)}} {z}}_{ \to {f^\prime }\left( {{x^+}} \right)} \cdot 2\underbrace {\frac{{\frac{z} {2}}} {{\sin \left( {\frac{z} {2}} \right)}}}_{ \to 1} $

$ \quad = 2 \cdot {f^\prime }\left( {{x^+}} \right) $

Daraus folgt, dass $g\left( z \right)$ beschränkt ist und damit ist $g\left( z \right)$ Riemann-integrierbar.

Analog verläuft der Nachweise für das zweite Integral.

Insgesamt haben wir damit gezeigt, dass

$\lim \limits_{n \to \infty } \frac{1} {{2\pi }}\int_{-\pi }^{\pi} {{D_n}\left( z \right)f\left( {x-z} \right)dz} = \frac{1} {2}\left( {f\left( {{x^+}} \right)+f\left( {{x^-}} \right)} \right)$

gilt.

Wenn wir auch noch fordern, dass stetig und stückweiße stetig differenzierbar ist könne wir Gleichmäßige Konvergenz Nachweißen, das wollen wir aber nicht tun und nur nachweißen, dass diese Bedingungen notwendig sind.

Lösung Teil 4

b )

$ f \in {L^2}\left( {\left[ {-\pi ,\pi } \right]} \right) $

$ f = \frac{{{a_0}}} {2}+\sum\limits_{k = 1}^\infty {\left( {{a_k}\cos \left( {kx} \right)+{b_k}sin\left( {kx} \right)} \right)} $

$ \left\| f \right\|_{{L^2}\left( {\left[ {-\pi ,\pi } \right]} \right)}^2 = \int_{-\pi }^\pi {{{\left[ {\frac{{{a_0}}} {2}+\sum\limits_{k = 1}^\infty {\left( {{a_k}\cos \left( {kx} \right)+{b_k}sin\left( {kx} \right)} \right)} } \right]}^2}dx} $

$ \quad = \sum\limits_{k = 1}^\infty {\left( {a_k^2+b_k^2} \right)} +\int_{-\pi }^\pi {\frac{{a_0^2}} {4}dx} $

$ \quad = 2\pi \frac{{a_0^2}} {4}+\sum\limits_{k = 1}^\infty {\left( {a_k^2+b_k^2} \right)} < \infty $

da wir hier ein Orthogonalsystem haben verschwinden die Anteil Sinus mal Cosinus (Definition Orthogonalsystem. Es bleiben nur noch die Summen gleichartiger Funktionen übrig.

Die Folge der Koeffizienten. $\left( {\frac{{{a_0}}} {2},{a_1},{b_1},{a_2},{b_2}, \ldots } \right) \in {l^2}$

c )

Wir differenzieren Gliederweise:

$ {f^\prime } = \sum {-k{a_k}\sin \left( {kx} \right)+k{b_k}\cos \left( {kx} \right)} $

$ \left\| {{f^\prime }} \right\|_{{L^2}\left( {\left[ {-\pi ,\pi } \right]} \right)}^2 = \ldots = \sum\limits_{k = 1}^\infty {{k^2}a_k^2+{k^2}b_k^2} < \infty $

$ f^{\prime\prime} = \sum {-k \cdot k \cdot {a_k}\cos \left( {kx} \right)-k \cdot k \cdot {b_k}\sin \left( {kx} \right)} $

$ \left\| {f^{\prime\prime}} \right\|_{{L^2}\left( {\left[ {-\pi ,\pi } \right]} \right)}^2 = \ldots = \sum\limits_{k = 1}^\infty {{k^4}a_k^2+{k^4}b_k^2} < \infty $

Wenn wir das nun m-Mal differenzieren erhalten wir:

$\left\| {{f^{\left( m \right)}}} \right\|_{{L^2}\left( {\left[ {-\pi ,\pi } \right]} \right)}^2 = \ldots = \sum\limits_{k = 1}^\infty {{k^{2 \cdot m}}a_k^2+{k^{2 \cdot m}}b_k^2} < \infty$

Damit ist die Folge $\left( {{k^m}{a_k},{k^m}{b_k}} \right) \in {l^2}$ .

Dass diese Funktion quadratintegrierbar ist, müssen die Vorfaktoren ${a_k}$ und ${b_k}$ schnell gegen Null konvergieren. Nur so können die großen ausgeglichen werden. Eine Funktion, deren Vorfaktoren ${a_k}$ und ${b_k}$ sehr schnell gegen Null konvergieren kann gut durch eine Fourierreihe dargestellt werden.

a )

${\left\{ {\cos \left( {nx} \right),\sin \left( {nx} \right)} \right\}_{n \in \mathbb{N}}}$ soll vollständig in ${L^2}$ sein. Wir beweisen dies durch einen Widerspruchsbeweis.

Angenommen, ${\left\{ {\cos \left( {nx} \right),\sin \left( {nx} \right)} \right\}_{n \in \mathbb{N}}}$ ist nicht vollständig im ${L^2}$ , dann gibt es eine Funktion $f \in {L^2}$ mit

$f \notin \overline {span\left\{ {\cos \left( {nx} \right),\sin \left( {nx} \right)} \right\}}$

Für gilt dann:

$ {\left( {f,{\text{cos}}\left( {nx} \right)} \right)_{{L^2}}} = 0 $

$ {\left( {f,{\text{sin}}\left( {nx} \right)} \right)_{{L^2}}} = 0 $ (**)

Setze:

$g\left( t \right) = \int_{-\pi }^t {f\left( u \right)du}$ , diese Funktion ist wohldefiniert, weil integrierbar ist.

$ \int_{-\pi }^\pi {\left( {g\left( t \right)-c} \right)\cos \left( {nx} \right)} = 0\quad f\ddot ur\quad n = 0, \ldots ,\infty \:mit\:geeign.\:c $

$ \int_{-\pi }^\pi {\left( {g\left( t \right)-c} \right)\sin \left( {nx} \right)} = 0\quad f\ddot ur\quad n = 1, \ldots ,\infty \:mit\:geeign.\:c $

dies gilt wegen der Bemerkung (**) und der partiellen Integration

Setzt nun:

$ F = g\left( t \right)-c $

$ F\left( \pi \right) = -c $

$ F\left( {-\pi } \right) = -c $

Mit dem Satz von Weierstraß (Approximation stetiger Funktionen)

$ \forall \varepsilon > 0\quad \exists \quad T\left( t \right) = \sum {{c_{1k}}\cos \left( {kt} \right)+{c_{2k}}\sin \left( {kt} \right)+{c_0}} $

$ \left| {F\left( t \right)-T\left( t \right)} \right| < \varepsilon \quad \forall \left| t \right| < \pi $

damit folgt mit (**) und der CSU:

$ \left\| F \right\|_{{L^2}}^2 = \int_{-\pi }^\pi {{F^2}dt} = \int_{-\pi }^\pi {F\left( {F-T} \right)dt} \leq \varepsilon \int_{-\pi }^\pi {\left| {F\left( t \right)} \right|dt} \leq \varepsilon \cdot 2\pi {\left\| F \right\|_{{L^2}}} $

$ \Rightarrow {\left\| F \right\|_{{L^2}}} < \varepsilon \quad \forall \varepsilon $

$ \Rightarrow \left. {\begin{array}{*{20}{c}} {F = 0} \\ {C = 0} \\ \end{array} } \right\} \Rightarrow g = 0 \Rightarrow f = 0 $

$ \Rightarrow f \in \overline {span\left\{ {\cos \left( {nx} \right),\sin \left( {nx} \right)} \right\}} $

Mathematical Engineering