17 – Hesse-Matrix, Definitheit, Determinantenkriterium

 

Es seien

A: = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a & b  \\ b & c  \\  \end{array} } \right)\quad  \in \mathbb{R}^{2 \times 2}

eine symmetrische, reelle 2 x 2 Matrix und D = ac-b2 ihre Determinante. Beweisne Sie ohne Zuhilfenahme des in Aufgabe 18 formulierten Hauptminorantenkriteriums die folgenden Aussagen:

  1. Wenn a und D positiv sind, dann ist A positiv definit
  2. Wenn a negativ und D positiv ist, dann ist A negativ definit
  3. Wenn D negativ ist, dann ist A indefinit

Hinweis: Bedenken Sie, dass positiv definit bedeutet, dass

\left( {\begin{array}{*{20}{c}} x & y  \\  \end{array} } \right) \cdot A \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x  \\ y  \\  \end{array} } \right) > 0\quad \quad  \Rightarrow \quad \quad \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x & y  \\  \end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a & b  \\ b & c  \\  \end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x  \\ y  \\  \end{array} } \right) > 0

und somit:

\Rightarrow \quad \quad ax^2 +2bxy+cy^2  > 0\quad \forall \left( {x,y} \right) \in \mathbb{R}^2 \backslash \left\{ {\left( {0,0} \right)} \right\}

und betrachten Sie für a ungleich 0 den Ausdruck

a\left( {\left( {x+\frac{b} {a} \cdot y} \right)^2 +\frac{{y^2 }} {{a^2 }}\left( {ac-b^2 } \right)} \right)

Lösung

Die positive Definitheit wird als Kriterium für Minimierungsprobleme bei mehrdimensionalen Funktionen benötigt. Dieser Zusammenhang soll hier zunächst verdeutlicht werden.

Notwendige Bedingung für ein Minimum einer zweifach differenzierbaren Funktion des Typs f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}:

Die erste Ableitung muss an der Stelle des Minimums gleich 0 sein:

f ^{\prime}\left( x \right) = 0

Hinreichende Bedingung für ein Minimum einer zweifach differenzierbaren Funktion des Typs f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}:

Die zweite Ableitung muss an der Stelle des Minimums größer als 0 sein:

f^{\prime\prime} \left( x \right) > 0

Analog gilt für ein Maximum:

f ^{\prime}\left( x \right) = 0

f^{\prime\prime}\left( x \right) < 0

und für einen Sattelpunkt:

f ^{\prime}\left( x \right) = 0

f^{\prime\prime}\left( x \right) = 0

Überträgt man dieses Prinzip auf mehrdimensionale Funktionen, findet man ähnliche Bedingungen.

Eine zweifach total differenzierbare Funktion des Typs f:\mathbb{R}^2  \to \mathbb{R} hat ein Minimum in dem Punkt (x, y), wenn in jeder Richtung (a, b) die Schnittkurve durch den Punkt (x, y) ein Minimum hat.

Die notwendige Bedingung für ein Minimum ist daher, dass alle Richtungsableitungen in dem Punkt zu 0 werden müssen:

D_{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} a  \\ b  \\  \end{array} } \right)} f = 0\quad \forall \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a  \\ b  \\  \end{array} } \right)\quad mit\quad \left\| {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} a  \\ b  \\  \end{array} } \right)} \right\| = 1

Wie man die Richtungsableitungen bildet, wurde bereits in der Lösung einer früheren Aufgabe besprochen:

D_{\left( {\begin{array}{*{20}{c}} a  \\ b  \\  \end{array} } \right)} f = 0\quad \quad  \Rightarrow \quad \quad \nabla f \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a  \\ b  \\  \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} D_x f  \\ D_y f  \\  \end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a  \\ b  \\  \end{array} } \right)

= a \cdot D_x f+b \cdot D_y f = 0

Da nicht a und b zu 0 werden können, folgt daraus für die notwendige Bedingung:

\nabla f\left( {x,y} \right) = 0

Nun zur hinreichenden Bedingung:
Analog dazu, dass die zweite Ableitung der Funktion größer als 0 sein muss, betrachten wir im zweidimensionalen Fall alle zweiten Ableitungen in jede Richtung.
Wir bilden die zweite Richtungsableitung in die Richtung (a, b). Diese muss größer als 0 sein:

\nabla \left( {\nabla f \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a  \\ b  \\  \end{array} } \right)} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a  \\ b  \\  \end{array} } \right) > 0

\Rightarrow \nabla \left( {a \cdot D_x f+b \cdot D_y f} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a  \\ b  \\  \end{array} } \right) > 0

\Rightarrow \left( {a \cdot D_{xx} f+b \cdot D_{yx} f,\quad a \cdot D_{xy} f+b \cdot D_{yy} f} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a  \\ b  \\  \end{array} } \right) > 0

\Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a & b  \\  \end{array} } \right) \cdot \underbrace {\left( {\begin{array}{*{20}{c}} D_{xx} f & D_{xy} f  \\ D_{yx} f & D_{yy} f  \\  \end{array} } \right)}_{Hesse-Matrix} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a  \\ b  \\  \end{array} } \right) > 0

Wir erhalten so die Definition für die positive Definitheit der Hesse-Matrix.

a )

Wir nehmen die Definition für positive Definitheit und multiplizieren aus:

\left( {\begin{array}{*{20}{c}} x & y  \\  \end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a & b  \\ b & c  \\  \end{array} } \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x  \\ y  \\  \end{array} } \right) = \left( {xa+by,\quad xb+yc} \right) \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x  \\ y  \\  \end{array} } \right)

= x^2 a+xyb+xyb+y^2 c

= a \cdot \left( {x^2 +2xy\frac{b} {a}+y^2 \frac{c} {a}} \right)

Wenn es darum geht, zu beweisen, dass etwas positiv ist, findet man am besten immer möglichst viele quadratische Terme, da man von diesen weiß, dass sie immer positiv sind. Wir basteln uns eine binomische Formel:

a \cdot \left( {\underbrace {x^2 }_{p^2 }+\underbrace {2xy\frac{b} {a}}_{2pq}+y^2 \frac{c} {a}} \right) = a\left( {\underbrace {x^2 }_{p^2 }+\underbrace {2xy\frac{b} {a}}_{2pq}+\overbrace {\underbrace {y^2 \frac{{b^2 }} {{a^2 }}}_{q^2 }-y^2 \frac{{b^2 }} {{a^2 }}}^{ = 0}+y^2 \frac{c} {a}} \right)

= a\left( {\left( {x+y\frac{b} {a}} \right)^2 -y^2 \frac{{b^2 }} {{a^2 }}+y^2 \frac{c} {a}} \right) = a\left( {\underbrace {\left( {x+y\frac{b} {a}} \right)^2 }_{ \geq 0}+\underbrace {\frac{{y^2 }} {{a^2 }}}_{ \geq 0}\underbrace {\left[ {ca-b^2 } \right]}_{D = \det A}} \right)

Lauf Aufgabenstellung ist nun a größer als 0 und D größer als 0.
Dadurch wird der ganze Term sicher größer 0, A ist also positiv definit.

b )

Nun ist a negativ und die Determinante D weiterhin positiv. Die Klammer ist dadurch positiv, durch das negative a wird der gesamte Term negativ, A ist also negativ definit.

c )

Im letzten Fall ist die Determinante negativ. Dadurch wird die ganze Klammer negativ. Je nachdem, ob a nun positiv oder negativ ist, wird der gesamte Term negativ oder positiv, A ist also indefinit.

Beispiel:

A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} - 1 & -1  \\ - 1 & 2  \\  \end{array} } \right)

\left| {\begin{array}{*{20}{c}} - 1 & -1  \\ - 1 & 2  \\  \end{array} } \right| = -3

Die Determinante ist negativ, daher ist die Matrix A indefinit.

Dies ist das Determinantenkriterium:

Ist die Determinante einer symmetrischen 2 x 2 Matrix negativ, dann ist die Matrix indefinit.