17 – Orthogonalenentwicklung und Orthonormalsysteme

 

Satz

Sei \left\{ {{H_\nu }} \right\} eine Folge von paarweise orthogonalen Unterräumen des Hilbert-Raums H, d.h. {H_\nu } \bot {H_\mu }\quad \forall \overline {\mathop \oplus \limits_{\nu \in \mathbb{N}} {H_\nu }}, \nu \ne \mu

Beweis

Sei x beliebig in H, x besitze Darstellungen

x = {x_\nu }+{\mu _\nu } mit {x_\nu } \in {H_\nu },\quad {\mu _\nu } \bot {H_\nu }

und

x = x^{\prime}+y^{\prime} mit x^{\prime} \in H^{\prime},\quad y^{\prime} \bot H^{\prime}

Sei x \in H,\quad n \in \mathbb{N}

\left\langle {\sum\limits_{\nu = 1}^n {{x_\nu }} ,\sum\limits_{\nu = 1}^n {{x_\nu }} } \right\rangle = \sum\limits_{\nu = 1}^n {\sum\limits_{\mu = 1}^n {\left\langle {{x_\nu },{x_\mu }} \right\rangle = } } \sum\limits_{\nu = 1}^n {\left\langle {{x_\nu },{x_\nu }} \right\rangle }

oder

{\left\| {\sum\limits_{\nu = 1}^n {{x_\nu }} } \right\|^2} = \sum\limits_{\nu = 1}^n {{{\left\| {{x_\nu }} \right\|}^2}}

Fixiere n und

y: = x-\sum\limits_{\nu = 1}^n {{x_\nu }}

Dann ist für \mu = 1, \ldots ,n

\left\langle {{x_\mu },y} \right\rangle = \left\langle {{x_\mu },x-{x_\mu }-\sum\limits_{\nu = 1}^n {{x_\nu }} } \right\rangle

= \left\langle {{x_\mu },x-{x_\mu }} \right\rangle -\left\langle {{x_\mu },\sum\limits_{ \nu = 1, \nu \ne \mu} ^n{{x_\nu }} } \right\rangle

= \left\langle {{x_\mu },{y_\mu }} \right\rangle -\left\langle {{x_\mu },\sum\limits_{ \nu = 1, \nu \ne \mu } ^n {{x_\nu }} } \right\rangle = 0-0 = 0

Folglich ist

{\left\| x \right\|^2} = \left\langle {x,x} \right\rangle = \left\langle {y+\sum\limits_{\nu = 1}^n {{x_\nu }} ,y+\sum\limits_{\nu = 1}^n {{x_\nu }} } \right\rangle

= \left\langle {y,y} \right\rangle +0+\sum\limits_{\nu = 1}^n {{{\left\| {{x_\nu }} \right\|}^2}} \geq \sum\limits_{\nu = 1}^n {{{\left\| {{x_\nu }} \right\|}^2}}

Also

{\left\| x \right\|^2} \geq \sum\limits_{\nu = 1}^n {{{\left\| {{x_\nu }} \right\|}^2}} \quad \forall n