18.1 – Maximumprinzip für parabolische Differentialgleichungen

 

In der Vorlesung wurde die lineare Wärmeleitungsgleichung behandelt. Bei der Herleitung dieser Gleichung nimmt man an, dass der Wärmeleitungskoeffizient konstant ist und nicht von der Temperatur abhängt. Für kleine Temperaturänderungen ist eine solche Approximation gerechtfertigt. Liegen jedoch größere Temperaturunterschiede vor, so kann es notwendig werden, eine nichtlineare Wärmeleitungsgleichung zu betrachten.

Daher betrachten wir in dieser Aufgabe:

\begin{array}{*{20}{c}}    {{u_t}-{{\left( {k\left( u \right) \cdot  {u_x}} \right)}_x} = 0} & {\left( {x,t} \right) \in \left( {0,1} \right) \times \left( {0,T} \right]}  \\    {u\left( {0,t} \right) = {u_l}\left( t \right),\quad u\left( {1,t} \right) = {u_r}\left( t \right)} & {t \in \left( {0,T} \right]}  \\    {u\left( {x,0} \right) = {u_0}\left( x \right)} & {x \in \left[ {0,1} \right]}  \\    {0 < {k_0} \leq k\left( u \right) \leq {K_0} < \infty } & {k\left( u \right):\mathbb{R} \to \mathbb{R}}  \\   \end{array}

Beweisen sie das Maximumprinzip.

Hinweis: Man betrachte {v^\varepsilon }\left( {x,t} \right) = u\left( {x,t} \right)-\varepsilon t.

Lösung

k(u): Wärmeleitungskoeffizient (immer positiv und abhängig von der Temperatur u)

Ausdifferenzieren der DGL liefert:

{u_t}-{k^\prime }\left( u \right){u_x}{u_x}-k\left( u \right){u_{xx}} = 0

Der Trick besteht nun darin, eine passende Vergleichsfunktion zu wählen.

In der Vorlesung hatten wir: w = u+\varepsilon {\left| x \right|^2} (siehe Beweis 18)

Hier nehmen wir stattdessen: {v^\varepsilon }\left( {x,t} \right) = u\left( {x,t} \right)-\varepsilon t (siehe Hinweis)

Ableitungen von {v^\varepsilon } lauten:

v_t^\varepsilon  = {u_t}-\varepsilon

v_x^\varepsilon  = {u_x}

v_{xx}^\varepsilon  = {u_{xx}}

Einsetzen von ut in die Vergleichsfunktion liefert:

v_t^\varepsilon  = {\left( {k\left( u \right){u_x}} \right)_x}-\varepsilon  = {k^\prime }\underbrace {\left( u \right)}_{\left( {{v^e}+\varepsilon t} \right)}\underbrace {{u_x}{u_x}}_{{{\left( {v_x^\varepsilon } \right)}^2}}-k\left( u \right)\underbrace {{u_{xx}}}_{v_{xx}^\varepsilon }-\varepsilon

= {k^\prime }\left( {{v^\varepsilon }+\varepsilon t} \right){\left( {v_x^\varepsilon } \right)^2}+k\left( {{v^\varepsilon }+\varepsilon t} \right)v_{xx}^\varepsilon -\varepsilon

Mit \varepsilon  > 0 folgt:

v_t^\varepsilon  \leq {k^\prime }\left( {{v^\varepsilon }+\varepsilon t} \right){\left( {v_x^\varepsilon } \right)^2}+k\left( {{v^\varepsilon }+\varepsilon t} \right)v_{xx}^\varepsilon \qquad \left( * \right)

Angenommen v\left( {x,t} \right) nimmt das Maximum an in \left( {{x_0},{t_0}} \right) \in \operatorname{int} \left( {\Omega  \times \left( {0,T} \right]} \right), dann muss gelten:

v_t^\varepsilon \left( {{x_0},{t_0}} \right) = 0

v_x^\varepsilon \left( {{x_0},{t_0}} \right) = 0

v_{xx}^\varepsilon \left( {{x_0},{t_0}} \right) \leq 0

Dies sind notwendige Bedingungen an das Maximum im Inneren
(1. Ableitung = 0; 2. Ableitung ≤ 0)

Durch Einsetzen in (*) bekommen wir:

0 \leq 0+\underbrace {k\left( {{v^\varepsilon }+\varepsilon t} \right)}_{ > 0} \cdot  \underbrace {v_{xx}^\varepsilon }_{ < 0}

Dies ist ein Widerspruch!

Also befindet sich das Maximum irgendwo auf \Omega  \times \left\{ 0 \right\} \cup \partial \Omega  \times \left( {0,T} \right] \cup \Omega  \times \left\{ T \right\}

PDGL-U18-Gebiet

Nun zeigen wir noch, dass das Maximum zum Zeitpunkt T nicht im Inneren von Ω liegt. Dies ist auch logisch, wenn man annimmt, dass sich in dem betrachteten Objekt keine Wärmequellen (oder -senken) befinden.

Für ein Maximum am Punkt \left( {{x_0},T} \right) mit {x_0} \in {\text{int}}\left( \Omega  \right) lauten die notwendigen Bedingungen:

v_t^\varepsilon \left( {{x_0},T} \right) \geq 0

v_x^\varepsilon \left( {{x_0},T} \right) = 0

v_{xx}^\varepsilon \left( {{x_0},T} \right) < 0

Wir stellen nun (*) um und setzen ein:

0 \leq {k^\prime }\left( {{v^\varepsilon }+\varepsilon t} \right) \cdot  0+\underbrace {k\left( {{v^k}+\varepsilon t} \right) \cdot  v_{xx}^\varepsilon }_{ < 0}\underbrace {-\underbrace {v_t^\varepsilon }_{ \geq 0}}_{ \leq 0} < 0
Dies ist ein Widerspruch!

Daher gilt also:

\sup \left( v \right) = \sup \left( {u-\varepsilon t} \right) \leq \sup \left\{ {{u_0},{u_l},{u_R}} \right\}

mit \varepsilon  \to 0 folgt auch u \leq \sup \left\{ {{u_0},{u_l},{u_R}} \right\}

Analog gilt: \inf \left\{ {{u_0},{u_l},{u_R}} \right\} \leq u \leq \sup \left\{ {{u_0},{u_l},{u_R}} \right\}

Wozu das Ganze?

Mit dem Maximumprinzip kann man Eindeutigkeit auch für nichtlineare parabolische PDGL zeigen.

\mathcal{J}\mathcal{K}

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