18.3 – Alternative Lösung der Wellengleichung

Sei v\left( {x,t} \right) nun eine Lösung der Wellengleichung

{v_{tt}} = {c^2}{v_{xx}}

mit einer gegebenen Konstante c.

Definieren Sie w\left( {x,t} \right) = v\left( {x,\alpha t} \right) und bestimmen Sie \alpha > 0 so, dass w die Wellengleichung mit c = 1 erfüllt.

Lösung

Wir vergleichen:

<br /> {w_x} = {v_x}<br />

<br /> {w_{xx}} = {v_{xx}}<br />

<br /> {w_t} = \alpha {v_t}<br />

<br /> {w_{tt}} = {\alpha ^2}{v_{tt}}<br />

<br /> {v_{tt}} = {c^2}{v_{xx}}<br />

<br /> \Rightarrow \quad \frac{1}<br /> {{{c^2}}}{v_{tt}} = {v_{xx}} = {w_{xx}}<br />

Wenn \frac{1}<br /> {{{c^2}}}{v_{tt}} = {w_{tt}} = {\alpha ^2}{v_{tt}} sein soll, dann brauchen wir {\alpha ^2} = \frac{1}<br /> {{{c^2}}}\quad \Leftrightarrow \quad \alpha = \frac{1}<br /> {c}

Bei c = 1 gilt dementsprechend auch a = 1.

Damit bekommt man eine einfachere Berechnung z.B. in Aufgabe 2.

\mathcal{J}\mathcal{K}

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