18 – Hilbert-Räume, Orthogonalisierung

Sei $\left\{ {{H_\nu }} \right\}$ Folge von paarweise orthogonalen Unterräumen eines Hilbert-Raumes $H$ mit

$H = {H_\nu } \oplus H_\nu ^ \bot$

und

$H^{\prime}: = \overline {\mathop \oplus \limits_{\nu \in \mathbb{N}} {H_\nu }}$

Zu beliebigem $x \in H$ gibt es zwei Darstellungen:

$\left( 1 \right)\quad x = {x_\nu }+{y_\nu },\quad {x_\nu } \in {H_\nu },{y_\nu } \bot {H_\nu }$

$\left( 2 \right)\quad x = x^{\prime}+y^{\prime},\quad x^{\prime} \in H^{\prime},y^{\prime} \bot H^{\prime}$

Denn

$\mathop {\lim }\limits_{\nu \to \infty } {x_\nu } = x^{\prime}$

daher insbesondere

$\sum\limits_{\nu = 1}^\infty {{{\left\| {{x_\nu }} \right\|}^2} = {{\left\| {x^{\prime}} \right\|}^2}}$

Wir haben gezeigt:

$\left( * \right)\quad {\left\| {\sum\limits_{\nu = 1}^n {{x_\nu }} } \right\|^2} = \sum\limits_{\nu = 1}^n {{{\left\| {{x_\nu }} \right\|}^2}}$

$\left( {**} \right)\quad \sum\limits_{\nu = 1}^\infty {{{\left\| {{x_\nu }} \right\|}^2} \leq {{\left\| x \right\|}^2}}$

Wegen Konvergenz der unendlichen Reihe

$\sum\limits_{\nu = 1}^\infty {{{\left\| {{x_\nu }} \right\|}^2}}$

bilden die Teilsummen eine Cauchy-Folge in $\mathbb R$ . Das heißt:

$\forall \varepsilon > 0\quad \exists {m_0}\left( \varepsilon \right) \in \mathbb{N}:\quad \left| {\sum\limits_{\nu = 1}^n {{{\left\| {{x_\nu }} \right\|}^2}} -\sum\limits_{\nu = 1}^m {{{\left\| {{x_\nu }} \right\|}^2}} } \right| < \varepsilon \quad \forall n,m > {m_0}\left( \varepsilon \right)$

Dann gilt für alle $n > m > {m_0}\left( \varepsilon \right)$ :

${\left\| {\sum\limits_{\nu = 1}^n {{x_\nu }} -\sum\limits_{\nu = 1}^m {{x_\nu }} } \right\|^2} = {\left\| {\sum\limits_{\nu = m+1}^n {{x_\nu }} } \right\|^2} = \sum\limits_{\nu = m+1}^n {{{\left\| {{x_\nu }} \right\|}^2}} < \varepsilon$

Also ist

${\left\{ {\sum\limits_{\nu = 1}^n {{x_\nu }} } \right\}_{n \in \mathbb{N}}}$

eine Cauchy-Folge in $H$ , also konvergiert sie gegen

$\left( {***} \right)\quad {x_0}: = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{\nu = 1}^n {{x_\nu }} = \sum\limits_{\nu = 1}^\infty {{x_\nu }} \in H$

Nach Konstruktion

$\sum\limits_{\nu = 1}^n {{x_\nu }} \in \mathop \oplus \limits_{\nu = 1}^n {H_\nu } \subset \overline {\mathop \oplus \limits_{\nu = 1}^\infty {H_\nu }} = H^{\prime}$

Da $H^{\prime}$ abgeschlosen, gilt sogar $X_0\in H^{\prime}$ .

Es bleibt zu zeigen:

${x_0} = x^{\prime}$

Für $\mu = 1, \ldots ,n$ und $\forall {z_\mu } \in {H_\mu }$ gilt:

$\left\langle {x-\sum\limits_{\nu = 1}^n {{x_\nu }} ,{z_\mu }} \right\rangle = \left\langle {\underbrace {\left( {x-{x_\mu }} \right)}_{{y_\mu }}-\sum\limits_{\nu = 1,\nu \ne \mu }^n {{x_\nu }} ,{z_\mu }} \right\rangle$