18 – Hilbert-Räume, Orthogonalisierung

 

Sei \left\{ {{H_\nu }} \right\} Folge von paarweise orthogonalen Unterräumen eines Hilbert-Raumes H mit

H = {H_\nu } \oplus H_\nu ^ \bot

und

H^{\prime}: = \overline {\mathop  \oplus \limits_{\nu  \in \mathbb{N}} {H_\nu }}

Zu beliebigem x \in H gibt es zwei Darstellungen:

\left( 1 \right)\quad x = {x_\nu }+{y_\nu },\quad {x_\nu } \in {H_\nu },{y_\nu } \bot {H_\nu }

\left( 2 \right)\quad x = x^{\prime}+y^{\prime},\quad x^{\prime} \in H^{\prime},y^{\prime} \bot H^{\prime}

Denn

\mathop {\lim }\limits_{\nu  \to \infty } {x_\nu } = x^{\prime}

daher insbesondere

\sum\limits_{\nu  = 1}^\infty  {{{\left\| {{x_\nu }} \right\|}^2} = {{\left\| {x^{\prime}} \right\|}^2}}

Wir haben gezeigt:

\left( * \right)\quad {\left\| {\sum\limits_{\nu  = 1}^n {{x_\nu }} } \right\|^2} = \sum\limits_{\nu  = 1}^n {{{\left\| {{x_\nu }} \right\|}^2}}

\left( {**} \right)\quad \sum\limits_{\nu  = 1}^\infty  {{{\left\| {{x_\nu }} \right\|}^2} \leq {{\left\| x \right\|}^2}}

Wegen Konvergenz der unendlichen Reihe

\sum\limits_{\nu  = 1}^\infty  {{{\left\| {{x_\nu }} \right\|}^2}}

bilden die Teilsummen eine Cauchy-Folge in \mathbb R. Das heißt:

\forall \varepsilon  > 0\quad \exists {m_0}\left( \varepsilon  \right) \in \mathbb{N}:\quad \left| {\sum\limits_{\nu  = 1}^n {{{\left\| {{x_\nu }} \right\|}^2}} -\sum\limits_{\nu  = 1}^m {{{\left\| {{x_\nu }} \right\|}^2}} } \right| < \varepsilon \quad \forall n,m > {m_0}\left( \varepsilon  \right)

Dann gilt für alle n > m > {m_0}\left( \varepsilon  \right):

{\left\| {\sum\limits_{\nu  = 1}^n {{x_\nu }} -\sum\limits_{\nu  = 1}^m {{x_\nu }} } \right\|^2} = {\left\| {\sum\limits_{\nu  = m+1}^n {{x_\nu }} } \right\|^2} = \sum\limits_{\nu  = m+1}^n {{{\left\| {{x_\nu }} \right\|}^2}}  < \varepsilon

Also ist

{\left\{ {\sum\limits_{\nu  = 1}^n {{x_\nu }} } \right\}_{n \in \mathbb{N}}}

eine Cauchy-Folge in H, also konvergiert sie gegen

\left( {***} \right)\quad {x_0}: = \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \sum\limits_{\nu  = 1}^n {{x_\nu }}  = \sum\limits_{\nu  = 1}^\infty  {{x_\nu }}  \in H

Nach Konstruktion

\sum\limits_{\nu  = 1}^n {{x_\nu }}  \in \mathop  \oplus \limits_{\nu  = 1}^n {H_\nu } \subset \overline {\mathop  \oplus \limits_{\nu  = 1}^\infty  {H_\nu }}  = H^{\prime}

Da H^{\prime} abgeschlosen, gilt sogar X_0\in H^{\prime}.

Es bleibt zu zeigen:

{x_0} = x^{\prime}

Für \mu  = 1, \ldots ,n und \forall {z_\mu } \in {H_\mu } gilt:

\left\langle {x-\sum\limits_{\nu  = 1}^n {{x_\nu }} ,{z_\mu }} \right\rangle  = \left\langle {\underbrace {\left( {x-{x_\mu }} \right)}_{{y_\mu }}-\sum\limits_{\nu  = 1,\nu  \ne \mu }^n {{x_\nu }} ,{z_\mu }} \right\rangle

= 0-\sum\limits_{\nu  = 1,\nu  \ne \mu }^n 0  = 0

wegen {y_\mu } \bot {H_\mu },\quad \nu  \ne \mu  \Rightarrow {H_\mu } \bot {H_\nu }

Grenzübergang liefert wegen \left( {***} \right):

\left\langle {x-{x_0},{z_\mu }} \right\rangle  = 0\quad \forall \left( {\mu  = 1, \ldots ,n} \right),n \in \mathbb{N}

und für alle {z_\mu } \in {H_\mu }

oder

x-{x_0} \bot {H_\nu }\quad \forall \nu  \in \mathbb{N}

Daher ist auch

x-{x_0} \bot \overline {\mathop  \oplus \limits_{\nu  = 1}^\infty  {H_\nu }}  = H^{\prime}

Damit zwei Zerlegungen für x:

x = x^{\prime}+y^{\prime},\quad x^{\prime} \in H^{\prime},y^{\prime} \bot H^{\prime}

x = {x_0}+\left( {x-{x_0}} \right),\quad {x_0} \in H^{\prime},\quad x-{x_0} \bot H^{\prime}

Zerlegung eindeutig, daher gilt {x_0} = x^{\prime}.