18 – Negative Definitheit – Minorenkriterium

 

Das sogenannte Hauptminorenkriterium von Hurwitz und Sylvester ermöglicht es, zu überprüfen, ob eine symmetrische Matrix positiv definit ist.
Es sei

A: = \left( {a_{ij} } \right)_{\begin{array}{*{20}{c}} 1 \leq i \leq n  \\ 1 \leq q \leq n  \\  \end{array} }  \in \mathbb{R}^{n \times n}

eine symmetrische, reelle n x n Matrix. Für 1 ≤ k ≤ n wird die Determinante der oberen linken k x k Teilmatrix von A

\left| {\left( {a_{ij} } \right)_{\begin{array}{*{20}{c}} 1 \leq i \leq k  \\ 1 \leq j \leq k  \\  \end{array} } } \right|

als k-ter Hauptminor von A bezeichnet. Das Hauptminorenkriterium besagt nun, dass A genau dann positiv definit ist, wenn alle Hauptminoren von A positiv sind.

Folgern Sie aus diesem Kriterium (das Sie nicht beweisen sollen) ein ähnliches Kriterium für negative Definitheit einer symmetrischen Matrix.
Hinweis: Eine symmetrische Matrix A ist genau dann negativ definit, wenn -A positiv definit ist.)

Lösung

Eine symmetrische Matrix A ist genau dann negativ definit, wenn -A positiv definit ist.

Wir betrachten die Matrix A mit

A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a & b & d &  \cdots   \\ b & c & &  \\ d &  &  \ddots  &   \\ \vdots  & & &  \\  \end{array} } \right)

Wenn diese negativ definit sein soll, dann muss die Matrix -A positiv definit sein. Das heißt, die Hauptminoren von -A müssen alle größer als 0 sein. Daraus folgt:

\left| {-a} \right| > 0\quad \quad  \Rightarrow \quad \quad -1 \cdot \left| a \right| > 0\quad \quad  \Rightarrow \quad \quad \left| a \right| < 0

und aufgrund der Tatsache, dass die Determinante eine Multilinearform ihrer Spalten (bzw Zeilen) ist:

\left| {\begin{array}{*{20}{c}} - a&-b  \\ - b&-c  \\  \end{array} } \right| > 0\quad \quad  \Rightarrow \quad \quad -1 \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a & -b  \\ b & -c  \\  \end{array} } \right| > 0\quad \quad  \Rightarrow \quad \quad \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a &  b  \\ b &  c  \\  \end{array} } \right| > 0

\left| {\begin{array}{*{20}{c}} - a&-b&-d  \\ - b&-c&-f  \\ - d&-f&-e  \\  \end{array} } \right| > 0\quad \quad  \Rightarrow \quad \quad -1 \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a & -b&-d  \\ b & -c&-f  \\ d & -f&-e  \\  \end{array} } \right| > 0\quad

\Rightarrow \quad \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a & b & -d  \\ b & c & -f  \\ d & f & -e  \\  \end{array} } \right| > 0\quad \quad  \Rightarrow \quad \quad -1 \cdot \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a & b & d  \\ b & c & f  \\ d & f & e  \\  \end{array} } \right| > 0

\Rightarrow \quad \left| {\begin{array}{*{20}{c}} a & b & d  \\ b & c & f  \\ d & f & e  \\  \end{array} } \right| < 0

…und so weiter. Es gilt also:

A ist genau dann negativ definit, falls die Vorzeichen der Hauptminoren alternieren, d.h. falls alle ungeraden Hauptminoren negativ sind und alle geraden positiv.