19 – Lineare Hülle und eindimensionale Unterräume

 

Wir wollen uns nun auf eindimensionale Unterräume spezialisieren

Lineare Hülle: Summe aller Linearkombinationen

{H_\nu }: = span\left\{ {{e_\nu }} \right\} = \left\{ {\alpha {e_\nu }:\alpha \in \mathbb{C}} \right\} = :\mathbb{C}{e_\nu }

Sei {\left\{ {{e_\nu }} \right\}_{\nu \in \mathbb{N}}} ein Orthogonalsystem, d.h. \left\langle {{e_\mu },{e_\nu }} \right\rangle = {\delta _{\mu \nu }}

Dann gilt folgendes:

Satz

Folgende Beziehungen sind äquivalent:

\left( i \right)\quad H = \overline {\mathop \oplus \limits_{\nu \in \mathbb{N}} span\left( {{e_\nu }} \right)}

\left( {ii} \right)\quad \left\{ {{e_\nu }} \right\} kann nicht zu einem größeren Orthonormalsystem erweitert werden

\left( {iii} \right)\quad \sum\limits_{\nu = 1}^\infty {{{\left| {\left\langle {x,{e_\nu }} \right\rangle } \right|}^2}} = {\left\| x \right\|^2}\quad \forall x \in H

Beweis

i → ii

Sei \left( i \right) erfüllt. Annahme:

{\left\{ {{e_\nu }} \right\}_{\nu \in \mathbb{N}}} \cup \left\{ e \right\},\quad e \in H,e \ne 0

ist ebenfalls ein Orthonormalsystem. Dann ist nach Definition

\left\langle {e,{e_\nu }} \right\rangle = 0\quad \forall \nu \in \mathbb{N}

Daher gilt

e \bot \mathop \oplus \limits_{\nu \in \mathbb{N}} span\left( {{e_\nu }} \right)

Aus der Stetigkeit von \left\langle {e, \cdot } \right\rangle folgt:

e \bot \overline {\mathop \oplus \limits_{\nu \in \mathbb{N}} span\left( {{e_\nu }} \right)} = H

Also e \bot e,\quad e = 0 im Widerspruch zur Annahme. Das Orthonormalsystem kann also nicht erweitert werden.

ii → i

Annahme:

H^{\prime} = \overline {\mathop \oplus \limits_{\nu \in \mathbb{N}} span\left( {{e_\nu }} \right)} \subset H

Dann gibt es ein x \in H:x \notin H^{\prime}. Dieses x besitzt die Zerlegung

x = x^{\prime}+y^{\prime},\quad x^{\prime} \in H^{\prime},y^{\prime} \bot H^{\prime} mit y^{\prime} \ne 0

Setze

e: = \frac{{y^{\prime}}} {{\left\| {y^{\prime}} \right\|}}

dann ist e \bot H^{\prime},\quad \left\| e \right\| = 1

Insbesondere ist e \bot {e_\nu },\quad \nu \in \mathbb{N}

Also ist {\left\{ {{e_\nu }} \right\}_{\nu \in \mathbb{N}}} \cup \left\{ e \right\} ein Orthonormalsystem (ONS), was im Widerspruch zu \left( {ii} \right) steht.

i → iii

Sei \left( i \right) erfüllt, also H = \overline {\mathop \oplus \limits_{\nu \in \mathbb{N}} span\left( {{e_\nu }} \right)}.

Jedes x \in H besitzt für beliebiges {\nu \in \mathbb{N}} die Zerlegung

x = {x_\nu }+{y_\nu } = \left\langle {x,{e_\nu }} \right\rangle {e_\nu }+x-\left\langle {x,{e_\nu }} \right\rangle {e_\nu }

wobei

{x_\nu }: = \left\langle {x,{e_\nu }} \right\rangle {e_\nu } \in span\left( {{e_\nu }} \right)

{y_\nu }: = x-\left\langle {x,{e_\nu }} \right\rangle {e_\nu } \bot span\left( {{e_\nu }} \right)

Damit lässt sich voriger Satz anwenden, wobei speziell

{H_\nu } = span\left( {{e_\nu }} \right)

H^{\prime} = \overline {\mathop \oplus \limits_{\nu \in \mathbb{N}} span\left( {{e_\nu }} \right)}

Nach \left( i \right) gilt dann H^{\prime}=H und mit

x = x^{\prime}+y^{\prime},\quad x^{\prime} \in H^{\prime} = H,\quad y^{\prime} \bot H^{\prime} = H

folgt:

y^{\prime}=0,\quad x=x^{\prime}

Es ist \left\| {{x_\nu }} \right\| = \left\| {\left\langle {x,{e_\nu }} \right\rangle {e_\nu }} \right\| = \left| {\left\langle {x,{e_\nu }} \right\rangle } \right| \cdot 1

und mit der Parsevalschen Gleichung

{\left\| x \right\|^2} = {\left\| {x^{\prime}} \right\|^2} = \sum\limits_{\nu = 1}^\infty {{{\left\| {{x_\nu }} \right\|}^2}} = \sum\limits_{\nu = 1}^\infty {{{\left| {\left\langle {x,{e_\nu }} \right\rangle } \right|}^2}}

Sei \left( {iii} \right) erfüllt, also \sum\limits_{\nu = 1}^\infty {{{\left| {\left\langle {x,{e_\nu }} \right\rangle } \right|}^2}} = {\left\| x \right\|^2}\quad \forall x \in H

Hier lautet die Parsevalsche Gleichung

\sum\limits_{\nu = 1}^\infty {{{\left| {\left\langle {x,{e_\nu }} \right\rangle } \right|}^2}} = {\left\| {x^{\prime}} \right\|^2}

{\left\| {x^{\prime}} \right\|^2} = {\left\| x \right\|^2} = {\left\| {x^{\prime}+y^{\prime}} \right\|^2} = {\left\| {x^{\prime}} \right\|^2}+{\left\| {y^{\prime}} \right\|^2}

{\left\| {x^{\prime}+y^{\prime}} \right\|^2} = {\left\| {x^{\prime}} \right\|^2}+2\underbrace {\left\| {x^{\prime}} \right\|\left\| {y^{\prime}} \right\|}_{ = 0}+{\left\| {y^{\prime}} \right\|^2}

also ist

\Rightarrow \quad \left\| {y^{\prime}} \right\| = 0,\quad y^{\prime} = 0,\quad x = x^{\prime} \in H^{\prime}\quad \forall x \in H

und damit

\overline {\mathop \oplus \limits_{\nu = 1}^\infty {H_\nu }} = H^{\prime}\overline {\mathop \oplus \limits_{\nu \in \mathbb{N}} span\left( {{e_\nu }} \right)}