2.3 – Pulsierende Kugel und Schalldruck

 

Eine hohle Kugel befindet sich in einem ruhenden Medium. Ihre Oberfläche oszilliert mit der Kreisfrequenz \Omega und kleinem Ausschlag {A_R} um den mittleren Radius {R_0}.

Es gilt:

R\left( t \right) = {R_0}+{A_R}{e^{i\Omega t}}

Berechnen Sie das von der Kugel abgestrahlte Schalldruckfeld.

Hinweis: Lösung mit Hilfe des Geschwindigkeitspotentials \phi:

\phi = \frac{{{A_\phi }}}{r}{e^{\left( {i\omega t-ikr} \right)}}

{{\vec u}^\prime } = \operatorname{grad} \phi

{p^\prime } = -{p_0}\frac{{\partial \phi }}{{\partial t}}

Lösung

Veranschaulichung:

atmende-kugel-schalldruck-feld-geschwindigkeit-potential

\frac{1}{{{c^2}}} \cdot \frac{{{\partial ^2}{p^\prime }}}{{\partial {t^2}}}-\Delta {p^\prime } = 0

R\left( t \right) = {R_0}+{A_R}{e^{i\Omega t}}

Für den eindimensionalen Fall:

\frac{1}{{{c^2}}}\frac{{{\partial ^2}{p^\prime }}}{{\partial {t^2}}} = \frac{1}{{{r^2}}}\frac{\partial }{{\partial r}}\left( {{r^2}\frac{{\partial {p^\prime }}}{{\partial r}}} \right)

{u_K} = \frac{{\partial R\left( t \right)}}{{\partial t}} = \frac{\partial }{{\partial t}}\left[ {{R_0}+{A_R}{e^{i\Omega t}}} \right] = i\Omega {A_R}{e^{i\Omega t}}

{u^\prime } = \operatorname{grad} \phi = \frac{{\partial \phi }}{{\partial r}} = \frac{\partial }{{\partial r}}\left[ {\frac{{{A_\phi }}}{r}{e^{\left( {i\omega t-ikr} \right)}}} \right]

\frac{{\partial \phi }}{{\partial r}} = -\frac{{{A_\phi }}}{{{r^2}}}{e^{\left( {i\omega t-ikr} \right)}}+\frac{{{A_\phi }}}{r}{e^{\left( {i\omega t-ikr} \right)}}\left( {-ik} \right)

Randbedingungen:

An der Kugeloberfläche sind Geschwindigkeit und Schnelle gleich.

r = {R_0}\quad \Rightarrow \quad {u_K} = {u^\prime }

\underbrace {i\Omega {A_R}}_{\left( 1 \right)}\underbrace {{e^{i\Omega t}}}_{\left( 2 \right)} = \underbrace {\left( {-\frac{{ik}}{{{R_0}}}-\frac{1}{{R_0^2}}} \right){A_\phi }{e^{-ik{R_0}}}}_{\left( 1 \right)}\underbrace {{e^{i\omega t}}}_{\left( 2 \right)}

\left( 2 \right)\quad \Rightarrow \quad \omega = \Omega

\left( 1 \right)\quad \Rightarrow \quad i\Omega {A_R} = \left( {-\frac{{ik}}{{{R_0}}}-\frac{1}{{R_0^2}}} \right){A_\phi }{e^{-ik{R_0}}}

\quad \Rightarrow \quad {A_\phi } = \frac{{i\Omega {A_R}}}{{\frac{1}{{{R_0}}}\left( {-ik-\frac{1}{{{R_0}}}} \right)}}{e^{ik{R_0}}}

Damit erhalten wir das Schalldruckfeld:

{p^\prime } = -{\rho _0}\frac{{\partial \phi }}{{\partial t}} = -{\rho _0}i\omega \frac{{{A_\phi }}}{r}{e^{\left( {i\omega t-ikr} \right)}}

\quad = -{\rho _0}i\Omega \cdot \frac{{i\Omega {A_R}{R_0}}}{{r\left( {-ik-\frac{1}{{{R_0}}}} \right)}}{e^{\left( {i\Omega t-ikr} \right)}}{e^{ik{R_0}}}

\quad = \frac{{{\rho _0}{\Omega ^2}{A_R}{R_0}}}{{r\left( {-ik-\frac{1}{{{R_0}}}} \right)}}\exp \left\{ {i\Omega t-ik\left( {r-{R_0}} \right)} \right\}