Eine Antriebswelle eines Schrägstirnradgetriebes aus dem Baustahl E335 mit aufgesetztem Zahnrad gemäß nachstehendem Bild wird durch Zahnkräfte belastet und hat ein schwellendes Drehmoment zu übertragen, welches über eine Kupplung ausgeleitet wird. Das Drehmoment , der Teilkreisdurchmesser des Zahnrades, sowie die Lagerabstände und sind durch konstruktive Randbedingungen vorgegeben. Die Zahnkräfte ergeben sich zu , und .

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Dimensionierung

1. Ermitteln Sie die Lagerreaktionskräfte.
2. Ermitteln Sie den Entwurfdurchmesser für den Absatz, auf dem das Zahnrad sitzt, so wie für den Kupplungszapfen.

Nachrechnung

1. Die Getriebewelle wurde konstruktiv gemäß nachfolgender Abbildung ausgestaltet. Für die kritischen Stellen 1 bis 3 ist ein Festigkeitsnachweis nach dem Nennspannungskonzept zu führen. Die Mindestsicherheit gegen Dauerbruch soll betragen.

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Lösung

Lagerreaktionskräfte

Zuerst führen wir ein geeignetes Koordinatensystem ein. Dabei legen wir die x-Achse in Balken/Wellenrichtung:

Der nächste Schritt ist die Berechnung der Lagerreaktionskräfte. Wir betrachten ein dreidimensionales Problem, so dass auch die Lagerkräfte in drei Dimensionen wirken können.

• Am linken Lager greifen zwei Auflagerkräfte an:
• Am rechten Festlager greifen drei Kräfte an:

Insgesamt müssen wir also 5 Auflagerkräfte bestimmen.

Für den 3D-Fall lassen sich 6 Gleichgewichtsbedingungen aufstellen (jeweils drei für Kräfte- bzw Momentengleichgewicht). Das System ist daher sogar 1-fach statisch überbestimmt und wir müssen nicht alle 6 Gleichungen aufstellen, um die 5 Lagerkräfte zu berechnen.

Wir stellen das Kräftegleichgewicht in den drei Raumrichtungen auf:

Nun betrachten wir die Momentengleichgewichte um einen beliebigen Punkt (hier: Punkt B). Es ist nicht nötig, das Momentengleichgewicht in alle drei Raumrichtungen aufzustellen, da wir nur noch zwei Gleichungen brauchen.

Durch entsprechendes Einsetzen ergibt sich:

und

Im Folgenden sind nicht die Kräfte interessant, die in die den Koordinatenrichtungen auf die Lager wirken, sondern nur jeweils die resultierende Gesamtkraft auf jedes Lager. Dabei ist die Auflagerkraft in Wellenrichtung uninteressant, da sie zur resultierenden Kraft, die ein Drehmoment zur Folge hat, das später von Interesse ist, keinen Einfluss hat. Diese Kraft wird bei der Bestimmung der Resultierenden daher nicht beachtet.

Für das Lager A gilt:

Für das Lager B gilt:

Ermittlung des Entwurfdurchmessers (Zahnradabsatz)

Angreifendes Torsionsmoment:

Angreifendes Biegemoment:

Bezugspunkt ist bei der Bestimmung des angreifenden Biegemoments das Zahnrad. Beachtet werden muss die entsprechende Drehrichtung des Biegemoments bezüglich des eingeführten Koordinatensystems. Wir betrachten das Biegemoment getrennt linksseitig und rechtsseitig der Welle:

Schaubild mit Biegemomenten:

Man betrachtet bei und nur die Beträge der Biegemomente. Das Vorzeichen hat keinerlei Bedeutung. Durch die zusätzlich aufgebrachte Kraft in z-Richtung auf der rechten Seite entsteht die Unstetigkeit beim Seitenwechsel.

Nun berechnen wir den Betrag des resultierenden Biegemoments in y- und z-Richtung. Da sein Maximum auf der rechten Seite annimmt, ist es auch nur nötig, die rechte Seite zu betrachten (“wenn was verreckt, dann da!”):

Ermittlung des erforderlichen Wellendurchmessers:

Für den Mindestdurchmesser einer Vollwelle entnehmen wir einer Formelsammlung:

(Biegespannung:)

(Torsionsspannung:)

Da die Welle sowohl auf Biegung als auch auf Torsion belastet wird, benötigen wir eine Vergleichsspannung. Zur Bestimmung der Vergleichsspannung brauchen wir wiederum eine Festigkeitshypothese. Das Kriterium für die Auswahl einer Hypothese ist meist der Quotient aus kritischer Normalspannung und Schubspannung:

mit dem Anstrengungsverhältnis (siehe hierzu Aufgabe 1). Aus der Vielzahl der Festigkeitshypothesen haben sich folgende für praktische Festigkeitsberechnungen bewährt:

Die Normalspannungshypothese für spröde Werkstoffe:

Sie setzt voraus, dass der Bruch senkrecht zur Richtung der größten Normalspannung erfolgt. Überschreitet diese den Festigkeitskennwert des Werkstoffes, tritt der Bruch ein.

Die Gestaltänderungsenergiehypothese für duktile Werkstoffe:

Hier ist die Verformung des elastischen Körperelements das Kriterium. Überschreitet diese den werkstoffabhängigen Grenzwert, versagt das Bauteil infolge der plastischen Formänderung. Diese Hypothese zeigt die beste Übereinstimmung mit den Versuchsergebnissen.

Die Schubspannungshypothese für duktile Werkstoffe mit ausgeprägter Streckgrenze:

Nach dieser Hypothese ist das Überschreiten der Gleitfestigkeit durch die größte wirkende Spannung für das Werkstoffversagen maßgebend.

Wir nutzen hier die Gestaltänderungsenergiehypothese. Die benötigte Formel für die Vergleichspannung ist

Für Momente gilt:

Damit gilt für den Mindestdurchmesser:

Da die Vergleichsspannung nur noch eine Normalspannung ist, können wir die Formel für die Biegespannung nutzen.

Wir müssen nun noch das Anstrengungsverhältnis bestimmen. Da wir noch in der Dimensionierung sind, können wir es einfach einer Tabelle entnehmen. In der Nachrechnung muss es später exakt berechnet werden.

Da sich die Welle konstant dreht und die Belastung aus einer Raumrichtung kommt, wechselt die Biegebelastung aus Sicht der Welle mit der Drehung. Die Torsion an sich soll laut Aufgabenstellung schwellend sein.

Da hier allgemeiner Baustahl verwendet wird, erhalten wir ein Anstrengungsverhältnis von .

Als letztes brauchen wir noch die zulässige Spannung. Diese ergibt sich durch

Den Werkstoffkennwert erhalten wir aus der gleichen Tabelle wie bei Aufgabe 1:

Für die Sicherheit muss man bei der Auslegung einer Welle für den Entwurfsdurchmesser die Mindestsicherheit 4 verwenden (vgl. Roloff/Matek).

Da die Welle keine Kerben hat, ist der Kerbfaktor 1.

Auch für den Betriebsfaktor nutzen wir 1, da es sich um eine gleichförmige Bewegung handelt.

Eingesetzt:

Damit erhalten wir endlich den erforderlichen Wellendurchmesser (Achtung: alles in mm umwandeln!):

Dimensionierung des Kupplungszapfens

Auf einen Kupplungszapfen wirken vor allem Torsionskräfte. Das einzige hier vorkommende Torsionsmoment ist . Für den erforderlichen Durchmesser der Welle an der Stelle des Kupplungszapfens müssen wir daher nur die Dimensionierungsformel für Torsion nutzen:

Die zulässige Torsionsspannung ermitteln wir analog zu der zulässigen Biegespannung:

Daraus folgt für den erforderlichen Durchmesser:

Der erforderliche Durchmesser des Kupplungszapfens beträgt damit 45mm.

Nachrechnung

Hier müssen wir einen Festigkeitsnachweis nach dem Nennspannungskonzept für die kritischen Stellen 1 bis 3 durchführen.

Die kritischen Stellen sind die Passfeder an der Kupplung (Welle durch Einbuchtung geschwächt) und die Wellenabsätze am Zahnrad.

Unter einem Festigkeitsnachweis nach dem Nennspannungskonzept versteht man eine Betrachtung der äußeren Einwirkungen im Bezug auf gegebene Festigkeitsgrößen (Nennspannungen) des verwendeten Materials z.B. hinsichtlich Biege- und Schubbelastung.

Wir behandeln zunächst die kritische Stelle 1.

Kritische Stelle 1: Passfeder

Auf eine Passfeder wirkt schon aus Definitionsgründen des Bauteils eine hohe Schubspannung, die im Vergleich zur normalen Spannung hier als einzige Größe betrachtet werden muss.
Auf die Passfeder wirkt laut Aufgabenstellung das Torsionsmoment . Um nun einen aussagekräftigen Festigkeitsnachweis führen zu können, benötigen wir zum einen die wirklich vorhandene Schubspannung und außerdem die vom Bauteil ertragbare Schubspannung . Wie schon in Aufgabe 1 gilt für diese Größen allgemein:

wirksame Spannungen sind abhängig von äußeren Belastungen, Form und Abmessung.

ertragbare Spannungen sind abhängig von Werkstoffkennwerten und Sicherheiten.

Bestimmung der wirksamen Spannungen

Bei einer Torsionsbelastung ergibt sich die wirksame Spannung aus dem Quotienten

Zur Bestimmung von ist es sinnvoll, sich mit einer Vereinfachung zu begnügen, mit der man hinsichtlich der Festigkeit aber sogar auf der sicheren Seite ist.

Anschaulich sieht der Wellenquerschnitt bei der Passfeder wie folgt aus (grüne Fläche):

Das Torsionswiderstandsmoment dieses Querschnittes ist relativ schwierig zu bestimmen. Statt dessen begnügen wir uns mit einem Wert für die kreisförmige Oberfläche (orange), die wie folgt in den Querschnitt passt:

Dies begründen wir mit folgender Überlegung:

Wir kennen eine exakte Formel für bei einem Kreisquerschnitt. Geht unsere Nachprüfung bereits mit dem kleineren Kreisquerschnitt auf, so muss auch die größere Fläche sicher genug sein.

Für gilt also:

In diesem Fall ergibt sich der Durchmesser aus dem Wellendurchmesser an dieser Stelle ohne den Absatz der Passfeder:

Eingesetzt in die Formel für die wirksame Spannung ergibt sich damit:

Bestimmung der ertragbaren Spannungen

In diesem Fall:

Die verwendeten Größen sind:

: Nennspannung bei schwellender Torsionsbelastung

: Oberflächeneinflussfaktor bei Torsionsbeanspruchung

: Technologischer Größeneinflussfaktor

: Kerbwirkungszahl bei Torsionsbeanspruchung

Bestimmung des technologischen Größeneinflussfaktors:

Wichtig ist hier, dass der Größeneinflussfaktor aus dem Durchmesser des Halbzeugs bestimmt wird, aus dem die Welle gedreht wurde. Aus dem Hinweis unter der technischen Zeichnung der Welle erfahren wir, dass die Welle aus einem E335 Stahl mit dem Halbzeugdurchmesser 80mm gedreht wurde. Bei E335 handelt es sich übrigens um einen unlegierten Baustahl.
In der Tabelle “technologische Größeneinflussfaktor ” handelt es sich hier um Kurve 2:

Dieser Kurve lässt sich bei einem gleichwertigen Durchmesser von 80mm (Durchmesser des Halbzeugs) ein -Wert von entnehmen.

Bestimmung des Oberflächeneinflussfaktors:

Zur Bestimmung des Faktors benötigen wir die entsprechende Tabelle:

Aus der Bezeichnung des Stahls können wir eine Größtzulässige Rautiefe von entnehmen. Wir müssen uns in der Tabelle also an die Gerade mit dem -Wert 16 halten. Außerdem entnehmen wir der Tabelle mit Materialdaten die Zugfestigkeit des E335 Stahls:

Aus dem Diagramm ergibt sich damit ein -Wert von .

Eigentlich hätten wir hier nicht mit dem Nennwert rechnen dürfen, da dieser durch den Größeneinflussfaktor beeinflusst wird. Aus dem Größeneinflussfaktor und der Zugfestigkeit lässt sich die Zugfestigkeit bei schwellender Belastung ermitteln, bei der noch Dauerfestigkeit gewährleistet ist. Für sie gilt in diesem Fall:

Bestimmung der Kerbwirkungszahl

Wir betrachten das Diagramm ausgewählter Kerbwirkungszahlen:

Aus dem Diagramm ergibt sich eine Kerbwirkungszahl von .

Als letztes entnehmen wir der Tabelle mit Werkstoffkennwerten noch die Nennschubspannung bei schwellender Torsionsbelastung:

Damit ergibt sich nun endgültig eine Grenzschubspannung:

Für die Mindestsicherheit gegen Dauerbruch muss hinsichtlich der Grenz- und der wirksamen Spannung gelten:

nicht in Ordnung!

Da die geforderte Sicherheit 2,0 beträgt, erfüllt das Bauteil nicht die Anforderungen und muss neu dimensioniert werden. An dieser Stelle kann man die Nachrechnung also theoretisch abbrechen.

Lösungsmöglichkeiten:

• Sicherheit von 2,0 ist relativ hoch und könnte eventuell verringert werden
• Erhöhung der Werkstoffsteifigkeit
• Reduzierung der Belastungen
• Andere Verbindung mit geringerer Kerbwirkung verwenden

Zu Übungszwecken führen wir nun trotzdem noch die Nachrechnung für die beiden verbleibenden kritischen Stellen durch.

Kritische Stelle 2: Wellenabsatz

Der Wellenabsatz ist sowohl durch das Biegemoment vom Lager A als auch durch das Torsionsmoment belastet. Zur Bestimmung des auf den Wellenabsatz wirkenden Biegemoments bestimmt man den Abstand vom Lager A zum Wellenabsatz (kritische Stellen K2 und K3).

Laut technischer Zeichnung ist:

Das Biegemoment am Wellenabsatz ergibt dich damit zu

Und das Torsionsmoment ist

Im Prinzip ist das Vorgehen nun analog wie bei der ersten Nachrechnung. Wir ermitteln zunächst die wirksamen Spannungen (Nennspannung) hinsichtlich der Belastungen (hier Torsion und Biegung).

Bei der Biegebeanspruchung ergibt sich die wirksame Spannung durch den Quotienten

Wobei wir hier bei vom Widerstandsmoment gegen Biegung sprechen und hier sogar direkt von einem Kreisquerschnitt ausgehen dürfen.

Damit ergibt sich für die Formel

Für den Durchmesser der Welle gilt nach technischer Zeichnung an dieser Stelle:

Damit ist

und

Genauso ermitteln wir als nächstes die wirksame Spannung aufgrund des Torsionsmoments:

wobei das Torsionswiderstandsmoment eines Kreisprofils durch bestimmt wird. Wir setzen ein:

Zur weiteren Betrachtung brauchen wir eine Vergleichsspannung aus Torsions- und Biegebelastung, die sich bei Stahl als duktilem Werkstoff aus der Gestaltänderungsenergiehypothese ermitteln lässt:

Da wir uns in der Nachrechnung befinden, reicht es nicht aus, das Anstrengungsverhältnis aus Tabellen abzulesen. Vielmehr benötigen wir hier das korrigierte Anstrengungsverhältnis, das exakt ermittelt werden muss.

Für das korrigierte Anstrengungsverhältnis gilt:

Für gilt:

Für gilt:

Daraus folgt für den Quotienten:

Wir kürzen den technologischen Größenfaktor und nehmen das Material der Welle als homogen an, womit der Oberflächeneinflussfaktor ebenfalls gekürzt werden kann (). Es ergibt sich:

wobei für bei Verwendung der Gestaltänderungsenergiehypothese der Wert verwendet wird.

Bei handelt es sich um eine Biegespannung bei einem E335 Stahl mit wechselnder bzw. schwellender Belastung. Damit suchen wir die Nennspannung . Diese ist laut Tabelle

Auch für die Torsionsspannung suchen wir die Torsionsspannung einer schwellend / wechselnden Belastung des E335 Stahls. Aus der Tabelle lesen wir ab:

Schließlich brauchen wir noch die Kerbwirkungszahlen und . Diese können mit den Gleichungen von Thun berechnet werden. Es gilt:

In diesen Gleichungen tauchen schon wieder neue Unbekannte auf, nämlich die Kerbformzahlen und und die Kerbempfindlichkeitszahl . Wir bestimmen als erstes die Kerbformzahlen.

Wir benötigen an dieser Stelle das Diagramm mit Formzahlen:

Das obere Diagramm gibt den Biegefall, das untere das Torsionsmoment an. Wir bestimmen das Verhältnis des Durchmessers der Welle und des Durchmessers der gekerbten Welle:

Die Durchmesser stammen aus der technischen Zeichnung in der Aufgabenstellung.
Weiterhin benötigen wir das Verhältnis der Größen und . lässt sich ermitteln:

lässt sich der Zeichnung entnehmen. Quotient:

Aus dem Diagramm abgelesen ergeben sich dann die Kerbformzahlen (rechts ungefähr suchen, dann die Kurve entlangfahren, bis man auf der x-Achse zu kommt und von da an horizontal auf der linken Seite den Wert ablesen!)

Nun müssen wir noch die Kerbempfindlichkeitszahl ermitteln. Dazu dient (vor allem in der Klausur) ein Diagramm, aus dem der Wert abgelesen werden kann:

Gesucht: Wert für (Zeichnung)

Den technologischen Größenfaktor ermitteln wir aus dem entsprechenden Diagramm mit

Wir erhalten: .

ist bereits bekannt.

Mit diesen Werten ergibt sich aus dem Diagramm für die Kerbempfindlichkeitszahl ein Wert von

Alternative (nicht in der Klausur): Berechnung von . Die Formel hierzu lautet:

Daran sieht man, wie ungenau das Diagramm ist!

Damit ergeben sich nun endlich die gesuchten Kerbwirkungszahlen nach Thum:

Daraus ergibt sich nun ein korrigiertes Anstrengungsverhältnis von

Damit können wir nun zurück zur Gestaltänderungsenergiehypothese gehen und die Vergleichsspannung ermitteln:

Um nun eine Sicherheit abzuschätzen, benötigen wir einen Vergleichswert. In diesem Fall wieder einmal die Spannung der Gestaltfestigkeit (Grenzspannung), für die gilt:

Die verwendeten Werte:

: Aus Tabelle Werkstoffkennwerte

: gerade ermittelt

: aus entsprechender Tabelle entnommen (mit und )

Für die Sicherheit gilt allgemein:

Die geforderte Sicherheit ist an dieser Stelle also gegeben.

Kritische Stelle 3: rechter Wellenabsatz

Auch hier lastet auf dem Wellenabsatz ein Torsionsmoment von . Das Biegemoment ergibt sich aus dem Abstand des Wellenabsatzes vom Lager A multipliziert mit der Kraft :

Durch analoges Verfahren lässt sich wie bei der zweiten kritischen Stelle die Biegespannung und die Schubspannung aus der Torsion ermitteln. Es ergibt sich

Daraus ergibt sich mit dem korrigierten Anstrengungsverhältnis

die Vergleichsspannung

Anschließend ermitteln wir analog zu K2 die Grenzspannung. Es ergibt sich ein Wert von

Aus diesen Größen ermitteln wir abschließend die Sicherheit gegen Fließbruch:

Auch an dieser Stelle ist die geforderte Sicherheit gegeben.

*geschafft!*