20 – lokale Extrema einer dreidimensionalen Funktion

 

Untersuchen Sie die Funktion

f:\mathbb{R}^3  \to \mathbb{R},

\left( {x,y,z} \right) \mapsto e^{x+y} \left( {x^2 +z^2 +x+y} \right)

auf lokale Extrema.

Lösung

Aufstellen des Gradienten durch partielles Ableiten:

f_x  = e^{x+y} \left( {x^2 +z^2 +x+y} \right)+e^{x+y} \left( {2x+1} \right) = e^{x+y} \left( {x^2 +3x+y+z^2 +1} \right)

f_y  = e^{x+y} \left( {x^2 +z^2 +x+y} \right)+e^{x+y}  = e^{x+y} \left( {x^2 +z^2 +x+y+1} \right)

f_z  = e^{x+y}  \cdot 2z

\nabla f\left( {x,y,z} \right) = e^{x+y} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    x^2 +3x+y+z^2 +1  \\    x^2 +z^2 +x+y+1  \\    2z  \\   \end{array} } \right)

Aufstellen der Hesse-Matrix durch wiederholtes partielles Ableiten:

f_{xx}  = e^{x+y} \left( {x^2 +3x+y+z^2 +1} \right)+e^{x+y} \left( {2x+3} \right)

= e^{x+y} \left( {x^2 +5x+y+z^2 +4} \right)

f_{xy}  = e^{x+y} \left( {x^2 +3x+y+z^2 +1} \right)+e^{x+y}  = e^{x+y} \left( {x^2 +3x+y+z^2 +2} \right)

f_{xz}  = e^{x+y}  \cdot 2z

f_{yx}  = e^{x+y} \left( {x^2 +z^2 +x+y+1} \right)+e^{x+y} \left( {2x+1} \right)

= e^{x+y} \left( {x^2 +z^2 +3x+y+2} \right) = f_{xy}

f_{yy}  = e^{x+y} \left( {x^2 +z^2 +x+y+1} \right)+e^{x+y}  = e^{x+y} \left( {x^2 +z^2 +x+y+2} \right)

f_{yz}  = e^{x+y}  \cdot 2z

f_{zx}  = e^{x+y}  \cdot 2z = f_{xz}

f_{zy}  = e^{x+y}  \cdot 2z = f_{yz}

f_{zz}  = e^{x+y}  \cdot 2

H\left( {f\left( {x,y,z} \right)} \right) = e^{x+y} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    x^2 +5x+y+z^2 +4 & x^2 +3x+y+z^2 +2 & 2z  \\    x^2 +z^2 +3x+y+2 & x^2 +z^2 +x+y+2 & 2z  \\    2z & 2z & 2  \\   \end{array} } \right)

Wie zu erwarten, ist die Hesse-Matrix symmetrisch.

Wir setzen nun den Gradienten gleich 0. Es ergibt sich ein Gleichungssystem:

\nabla f\left( {x,y,z} \right) = 0\quad \quad  \Rightarrow \quad \quad e^{x+y} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    x^2 +3x+y+z^2 +1  \\    x^2 +z^2 +x+y+1  \\    2z  \\   \end{array} } \right) = 0

2z = 0\quad  \Rightarrow \quad z = 0

\left. {\begin{array}{*{20}{c}}    x^2 +3x+y+z^2 +1 = 0  \\    x^2 +z^2 +x+y+1 = 0  \\   \end{array} } \right\}-

2x = 0\quad  \Rightarrow \quad x = 0

x^2 +3x+y+z^2 +1 = 0\quad  \Rightarrow \quad 0^2 +3 \cdot 0+y+0^2 +1 = 0\quad  \Rightarrow \quad y = -1

also:

P_{krit}  = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    0  \\    -1  \\    0  \\   \end{array} } \right)

Wir setzen den gefundenen kritischen Punkt nun in die Hessematrix ein:

H\left( {f\left( {0,-1,0} \right)} \right) = e^{-1} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    -1+4 & -1+2 & 0  \\    -1+2 & -1+2 & 0  \\    0 & 0 & 2  \\   \end{array} } \right) = e^{-1} \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    3 & 1 & 0  \\    1 & 1 & 0  \\    0 & 0 & 2  \\   \end{array} } \right)

Aufgrund des Hauptminorenkriteriums ist die Hessematrix positiv definit. Es gibt also ein Minimum an der Stelle (0, -1, 0).