20 – Orthonormalsysteme von Hilberträumen

 

Satz

Jeder separable unendlichdimensionale Hilbert-Raum besitzt mindestens ein vollständiges Orthonormalsystem.

Beweis

Wegen Voraussetzung existiert eine abzählbare Menge

{\left\{ {{x_\nu }} \right\}_{\nu  \in \mathbb{N}}}

die dicht in H liegt:

H = \overline {\bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}} {{x_n}} }

Wir definieren durch

{H_n}: = span\left\{ {{x_1}, \ldots ,{x_n}} \right\}

eine Folge {\left\{ {{H_n}} \right\}_{n \in \mathbb{N}}} von Unterräumen von H, für die gilt:

{H_1} \subset {H_2} \subset  \ldots  \subset {H_{n-1}} \subset {H_n} \subset  \ldots

und

\dim \left\{ {{H_{n-1}}} \right\} \leq \dim \left\{ {{H_n}} \right\} \leq n\quad \quad \left( * \right)

Wäre

\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \dim \left\{ {{H_n}} \right\} = m < \infty

dann lägen alle {x_\nu } in dem m-dimensionalen linearen Teilraum

H^{\prime}: = \bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}} {{H_n}}

H^{\prime} ist abgeschlossen, da endlich.

Dann würde folgen

H = \overline {\bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}} {{x_n}} }  \subset \overline {H^{\prime}}  = H^{\prime} \subset H\quad  \Rightarrow \quad H = H^{\prime}

Also tritt in \left( * \right) jedes k mindestens ein mal als Dimension auf. Damit wählen wir durch die Vorschrift

\dim \left\{ {{H_{nk}}} \right\} = k,\quad k \in \mathbb{N}

eine Teilfolge {\left\{ {{H_{nk}}} \right\}_{k \in \mathbb{N}}}.

Für diese Teilfolge gilt:

{H_{n1}} \subset {H_{n2}} \subset  \ldots  \subset {H_{nk-1}} \subset {H_{nk}}\quad \quad \left( {**} \right)

mit \dim \left\{ {{H_{nk}}} \right\} = k

Daher gibt es eine Folge {\left\{ {{y_k}} \right\}_{k \in \mathbb{N}}}, so dass

{y_k} \in {H_{nk}}{{\backslash }}{{{H}}_{nk-1}}

Mit Gram-Schmidt konstruieren wir hieraus ein Orthonormalsystem {\left\{ {{e_k}} \right\}_{k \in \mathbb{N}}}

Insbesondere sei

{H_{nk}} = span\left\{ {{e_1}, \ldots ,{e_k}} \right\} = \mathop  \oplus \limits_{l = 1 \to k} span\left\{ {{e_l}} \right\}

Dieses ONS ist vollständig, denn wegen \left( {**} \right) ist

\bigcup\limits_{n = 1}^\infty  {\mathop  \oplus \limits_{l = 1 \to n} span\left\{ {{e_l}} \right\}}  = \mathop  \oplus \limits_{l \in \mathbb{N}} span\left\{ {{e_l}} \right\}

= \bigcup\limits_{k \in \mathbb{N}} {{H_{nk}}}  = \bigcup\limits_{l \in \mathbb{N}} {{H_l}}

\Rightarrow \quad H \supset \overline {\mathop  \oplus \limits_{l \in \mathbb{N}} span\left\{ {{e_l}} \right\}}  = \overline {\bigcup\limits_{l \in \mathbb{N}} {{H_l}} }  \supset \overline {\bigcup\limits_{l \in \mathbb{N}} {{x_l}} }  \supseteq H

Satz

Sei H ein Hilbert-Raum mit dem vollständigen ONS {\left\{ {{e_\nu }} \right\}_{\nu  \in \mathbb{N}}}

Dann ist

x \in H \mapsto \alpha  \in {l_2}

mit

x = \sum\limits_{\nu  = 1}^\infty  {{\alpha _\nu }{e_\nu }}

mit eindeutigen {\alpha _\nu } = \left\langle {x,{e_\nu }} \right\rangle

\alpha  = {\left\{ {{\alpha _\nu }} \right\}_{\nu  \in \mathbb{N}}}

erfüllt \sum\limits_\nu  {{{\left| {{\alpha _\nu }} \right|}^2}}  < \infty

Umgekehrt gibt es zu jedem \alpha  \in {l_2} genau ein x \in H mit

x = \sum\limits_{\nu  = 1}^\infty  {{\alpha _\nu }{e_\nu }}

Beweis

Wie zuvor sei

{H_{nk}} = \overline {\mathop  \oplus \limits_{\nu  \in \mathbb{N}} span\left\{ {{e_l}} \right\}}

Denn

x = {x_\nu }+{y_\nu },\quad {x_\nu } = \left\langle {x,{e_\nu }} \right\rangle {e_\nu },\quad {y_\nu } \bot {H_\nu }

und

x = x^{\prime}+y^{\prime},\quad x^{\prime} \in H^{\prime},\quad y^{\prime} \bot H^{\prime}

Es gilt:

\sum\limits_{\nu  = 1}^\infty  {{x_\nu }}  = \sum\limits_{\nu  = 1}^\infty  {\left\langle {x,{e_\nu }} \right\rangle {e_\nu }}  = x^{\prime}

Wegen Vollständigkeit ist

y^{\prime} = 0\quad  \Rightarrow \quad x = \sum\limits_{\nu  = 1}^\infty  {{\alpha _\nu }{e_\nu }}

Anwendung: Fourier-Reihe

Für eine komplexwertige 1-periodische Funktion f kennt man die Fourier-Reihe:

\sum\limits_{k = -\infty }^\infty  {\hat f\left( k \right){e^{2\pi ikx}}}

mit Fourier-Koeffizient

\hat f\left( t \right) = \int_0^1 {f\left( x \right){e^{-2\pi ikx}}dx}

Ein trigonometrisches Polynom t_N ist eine abgebrochene Fourier-Reihe, d.h.

{t_N}\left( x \right) = \sum\limits_{k = -N}^N {{\alpha _k}{e^{2\pi ikx}}} ,\quad N \in \mathbb  {N}

Raum der trigonometrischen Polynome

{T_N} = \left\{ {{t_N};{\alpha _t} \in \mathbb{C}} \right\}

\dim \left\{ {{T_N}} \right\} = 2N+1

Hier Orthonormalsystem mit den Funktionen {w_k},\quad k \in \mathbb{Z} sind orthogonal bezüglich

des {L^2}\left[ {0,1} \right]-Skalarprodukt.

\int_{}^{} {{w_k}\left( x \right)\overline {{w_l}\left( x \right)} dx}  = \int_0^1 {{e^{i\left( {k-  l} \right)2\pi x}}}  = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}    {1\forall k = l}  \\    {0\forall k \ne l}  \\   \end{array} } \right.

Aus der Fourier-Theorie folgt, dass das Orthonormalsystem vollständig ist.

Die Parsevalsche Gleichung lautet:

\left\| f \right\|_{{L^2}\left( {0,1} \right)}^2 = \int_0^1 {{{\left| {f\left( x \right)} \right|}  ^2}dx}  = \sum\limits_{k \in \mathbb{Z}} {{{\left| {\hat f\left( k \right)} \right|}^2}}  = \left\|   {{{\left\{ {\hat f\left( k \right)} \right\}}_k}} \right\|_{{l_2}\left( \mathbb{Z} \right)}^2

Differenzieren von f bedeutet Multiplizieren von {\hat f\left( k \right)} mit 2\pi ik

f^{\prime}\left( x \right) = \sum\limits_{k \in \mathbb{Z}} {2\pi ik\hat f\left( k \right){w_k}\left( x \right)}