20 – Orthonormalsysteme von Hilberträumen

Satz

Jeder separable unendlichdimensionale Hilbert-Raum besitzt mindestens ein vollständiges Orthonormalsystem.

Beweis

Wegen Voraussetzung existiert eine abzählbare Menge

${\left\{ {{x_\nu }} \right\}_{\nu \in \mathbb{N}}}$

die dicht in liegt:

$H = \overline {\bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}} {{x_n}} }$

Wir definieren durch

${H_n}: = span\left\{ {{x_1}, \ldots ,{x_n}} \right\}$

eine Folge ${\left\{ {{H_n}} \right\}_{n \in \mathbb{N}}}$ von Unterräumen von , für die gilt:

${H_1} \subset {H_2} \subset \ldots \subset {H_{n-1}} \subset {H_n} \subset \ldots$

und

$\dim \left\{ {{H_{n-1}}} \right\} \leq \dim \left\{ {{H_n}} \right\} \leq n\quad \quad \left( * \right)$

Wäre

$\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \dim \left\{ {{H_n}} \right\} = m < \infty$

dann lägen alle ${x_\nu }$ in dem m-dimensionalen linearen Teilraum

$H^{\prime}: = \bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}} {{H_n}}$

$H^{\prime}$ ist abgeschlossen, da endlich.

Dann würde folgen

$H = \overline {\bigcup\limits_{n \in \mathbb{N}} {{x_n}} } \subset \overline {H^{\prime}} = H^{\prime} \subset H\quad \Rightarrow \quad H = H^{\prime}$

Also tritt in $\left( * \right)$ jedes mindestens ein mal als Dimension auf. Damit wählen wir durch die Vorschrift

$\dim \left\{ {{H_{nk}}} \right\} = k,\quad k \in \mathbb{N}$

eine Teilfolge ${\left\{ {{H_{nk}}} \right\}_{k \in \mathbb{N}}}$ .

Für diese Teilfolge gilt:

${H_{n1}} \subset {H_{n2}} \subset \ldots \subset {H_{nk-1}} \subset {H_{nk}}\quad \quad \left( {**} \right)$

mit $\dim \left\{ {{H_{nk}}} \right\} = k$

Daher gibt es eine Folge ${\left\{ {{y_k}} \right\}_{k \in \mathbb{N}}}$ , so dass

${y_k} \in {H_{nk}}{{\backslash }}{{{H}}_{nk-1}}$

Mit Gram-Schmidt konstruieren wir hieraus ein Orthonormalsystem ${\left\{ {{e_k}} \right\}_{k \in \mathbb{N}}}$

Insbesondere sei

${H_{nk}} = span\left\{ {{e_1}, \ldots ,{e_k}} \right\} = \mathop \oplus \limits_{l = 1 \to k} span\left\{ {{e_l}} \right\}$

Dieses ONS ist vollständig, denn wegen $\left( {**} \right)$ ist

$\bigcup\limits_{n = 1}^\infty {\mathop \oplus \limits_{l = 1 \to n} span\left\{ {{e_l}} \right\}} = \mathop \oplus \limits_{l \in \mathbb{N}} span\left\{ {{e_l}} \right\}$

$= \bigcup\limits_{k \in \mathbb{N}} {{H_{nk}}} = \bigcup\limits_{l \in \mathbb{N}} {{H_l}}$

$\Rightarrow \quad H \supset \overline {\mathop \oplus \limits_{l \in \mathbb{N}} span\left\{ {{e_l}} \right\}} = \overline {\bigcup\limits_{l \in \mathbb{N}} {{H_l}} } \supset \overline {\bigcup\limits_{l \in \mathbb{N}} {{x_l}} } \supseteq H$

Satz

Sei ein Hilbert-Raum mit dem vollständigen ONS ${\left\{ {{e_\nu }} \right\}_{\nu \in \mathbb{N}}}$

Dann ist

$x \in H \mapsto \alpha \in {l_2}$

mit

$x = \sum\limits_{\nu = 1}^\infty {{\alpha _\nu }{e_\nu }}$

mit eindeutigen ${\alpha _\nu } = \left\langle {x,{e_\nu }} \right\rangle$

$\alpha = {\left\{ {{\alpha _\nu }} \right\}_{\nu \in \mathbb{N}}}$

erfüllt $\sum\limits_\nu {{{\left| {{\alpha _\nu }} \right|}^2}} < \infty$

Umgekehrt gibt es zu jedem $\alpha \in {l_2}$ genau ein $x \in H$ mit

$x = \sum\limits_{\nu = 1}^\infty {{\alpha _\nu }{e_\nu }}$

Beweis

Wie zuvor sei

${H_{nk}} = \overline {\mathop \oplus \limits_{\nu \in \mathbb{N}} span\left\{ {{e_l}} \right\}}$

Denn

$x = {x_\nu }+{y_\nu },\quad {x_\nu } = \left\langle {x,{e_\nu }} \right\rangle {e_\nu },\quad {y_\nu } \bot {H_\nu }$

und

$x = x^{\prime}+y^{\prime},\quad x^{\prime} \in H^{\prime},\quad y^{\prime} \bot H^{\prime}$

Es gilt:

$\sum\limits_{\nu = 1}^\infty {{x_\nu }} = \sum\limits_{\nu = 1}^\infty {\left\langle {x,{e_\nu }} \right\rangle {e_\nu }} = x^{\prime}$

Wegen Vollständigkeit ist

$y^{\prime} = 0\quad \Rightarrow \quad x = \sum\limits_{\nu = 1}^\infty {{\alpha _\nu }{e_\nu }}$

Anwendung: Fourier-Reihe

Für eine komplexwertige 1-periodische Funktion kennt man die Fourier-Reihe:

$\sum\limits_{k = -\infty }^\infty {\hat f\left( k \right){e^{2\pi ikx}}}$

mit Fourier-Koeffizient

$\hat f\left( t \right) = \int_0^1 {f\left( x \right){e^{-2\pi ikx}}dx}$

Ein trigonometrisches Polynom t_N ist eine abgebrochene Fourier-Reihe, d.h.

${t_N}\left( x \right) = \sum\limits_{k = -N}^N {{\alpha _k}{e^{2\pi ikx}}} ,\quad N \in \mathbb {N}$

Raum der trigonometrischen Polynome

${T_N} = \left\{ {{t_N};{\alpha _t} \in \mathbb{C}} \right\}$

$\dim \left\{ {{T_N}} \right\} = 2N+1$

Hier Orthonormalsystem mit den Funktionen ${w_k},\quad k \in \mathbb{Z}$ sind orthogonal bezüglich

des ${L^2}\left[ {0,1} \right]$ -Skalarprodukt.

$\int_{}^{} {{w_k}\left( x \right)\overline {{w_l}\left( x \right)} dx} = \int_0^1 {{e^{i\left( {k- l} \right)2\pi x}}} = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {1\forall k = l} \\ {0\forall k \ne l} \\ \end{array} } \right.$

Aus der Fourier-Theorie folgt, dass das Orthonormalsystem vollständig ist.

Die Parsevalsche Gleichung lautet:

$\left\| f \right\|_{{L^2}\left( {0,1} \right)}^2 = \int_0^1 {{{\left| {f\left( x \right)} \right|} ^2}dx} = \sum\limits_{k \in \mathbb{Z}} {{{\left| {\hat f\left( k \right)} \right|}^2}} = \left\| {{{\left\{ {\hat f\left( k \right)} \right\}}_k}} \right\|_{{l_2}\left( \mathbb{Z} \right)}^2$