21 – Lineare Operatoren in normierten Räumen

 

Wir haben uns bisher mit verschiedenen Räumen (normierte Räume, Hilbert-Räume, …) beschäftigt.
Jetzt wollen wir uns mit Urbildraum und Bildraum, sowie Abbildungen vom einen in den anderen (Operatoren) befassen.

Gegeben: normierte Räume E und F über S = \mathbb{C} oder S = \mathbb{R}:

Operator von Menge in Menge

Definition:
Eine lineare Abbildung A:E \to F heißt linearer Operator.
Eine stetige Abbildung A:E \to F heißt stetiger Operator.

Beispiel 1: Spiegelung

Operator Spiegelung an Winkelhalbierender

Es gilt:

\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ 0 \\ \end{array} } \right) \to \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 1 \\ \end{array} } \right),\quad \quad \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 \\ 1 \\ \end{array} } \right) \to \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1 \\ 0 \\ \end{array} } \right)

M = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{array} } \right)

y = Mx

Beispiel 2: Integral

x \in {L^1}\left( {0,1} \right) \mapsto \int_0^1 {x\left( t \right)dt} \in \mathbb{C}

Beispiel 3: Laplace-Operator

\Delta :x \in {C^2}\left( {\Omega \subset {\mathbb{R}^2}} \right) \mapsto \Delta x = {x_{11}}+{x_{22}} \in C\left( \Omega \right)

Beispiel für einen nicht-linearen Operator:

x \in {L^2}\left( {0,1} \right) \mapsto {x^2} \in {L^1} (Halbierung der Dimension)

Die Menge aller linearen Operatoren von E nach F ist selbst ein linearer Raum.

Definition:
Ein linearer Operator heißt beschränkt, falls

\exists c \geq 0:\quad \frac{{\left\| {Ax} \right\|}} {{\left\| x \right\|}} \leq c\quad \forall x \in E,\quad c \ne 0

Satz

Ein linearer Operator A:E\to F ist genau dann stetig, wenn er beschränkt ist.

\left\| A \right\|: = \mathop {\sup }\limits_{x \ne 0} \frac{{\left\| {Ax} \right\|}} {{\left\| x \right\|}}

\left\| A \right\| = \mathop {\sup }\limits_{\left\| x \right\| = 1} \left\| {Ax} \right\|,\quad x^{\prime} = \frac{x} {{\left\| x \right\|}}

\left\| A \right\| = \mathop {\sup }\limits_{\left\| x \right\| \leq 1} \left\| {Ax} \right\| \geq \mathop {\sup }\limits_{\left\| x \right\| = 1} \left\| {Ax} \right\|

x = \left\| x \right\|x^{\prime}

\left\| {Ax} \right\| = \left\| x \right\|\left\| {Ax^{\prime}} \right\| \leq \left\| A \right\|

Beispiel:

Sei H ein Hilbert-Raum, H^{\prime} ein nichttrivialer Unterraum (nicht der Nullraum). Es gilt:

H = H^{\prime} \oplus H^{\prime\prime}

wobei

H^{\prime\prime} = H^{\prime \bot}

P:x \in H \mapsto x^{\prime} \in H^{\prime}

wobei

x = x^{\prime}+x^{\prime\prime},\quad x^{\prime\prime} \bot H^{\prime}

{\left\| {Px} \right\|^2} = {\left\| {x^{\prime}} \right\|^2} \leq {\left\| {x^{\prime}} \right\|^2}+{\left\| {x^{\prime\prime}} \right\|^2} = {\left\| x \right\|^2}

\left\| {Px} \right\| \leq \left\| x \right\|,\quad \left\| P \right\| \leq 1

\exists \tilde x \in H^{\prime},\quad \tilde x \ne 0

P\tilde x = \tilde x

\frac{{\left\| {P\tilde x} \right\|}} {{\left\| x \right\|}} = \frac{{\left\| {\tilde x} \right\|}} {{\left\| {\tilde x} \right\|}} = 1

\left\| P \right\| = 1

Jede Orthogonalprojektion hat also die Norm 1.

Satz

Sei \mathcal{L}\left( {E,F} \right) die Menge aller linearen stetigen Operatoren.

A:E \to F ist ein normierter Raum über S.

\left\| {A+B} \right\| = \mathop {\sup }\limits_{\left\| x \right\| \leq 1} \left\{ {\left\| {\left( {A+B} \right)x} \right\|} \right\} = \mathop {\sup }\limits_{\left\| x \right\| \leq 1} \left\{ {\left\| {Ax} \right\|+\left\| {Bx} \right\|} \right\}

\leq \mathop {\sup }\limits_{\left\| x \right\| \leq 1} \left\{ {\left\| {Ax} \right\|} \right\}+\mathop {\sup }\limits_{\left\| x \right\| \leq 1} \left\{ {\left\| {Bx} \right\|} \right\}

Also:

\left\| {A+B} \right\| \leq \mathop {\sup }\limits_{\left\| x \right\| \leq 1} \left\{ {\left\| {Ax} \right\|} \right\}+\mathop {\sup }\limits_{\left\| x \right\| \leq 1} \left\{ {\left\| {Bx} \right\|} \right\}

Satz

\mathcal{L}\left( {E,F} \right) ist ein Banach-Raum, sobald F vollständig ist.

Beweis

Sei \left\{ {{A_\nu }} \right\} eine Cauchy-Folge in \mathcal{L}\left( {E,F} \right).

Dann gilt:

\forall \varepsilon > 0\quad \exists m\left( \varepsilon \right) \in \mathbb{N}:\quad \left\| {{A_\nu }-{A_\mu }} \right\| < \varepsilon \quad \forall \mu ,\nu > m\left( \varepsilon \right)

Nach Definition der Norm folgt

\left\| {{A_\nu }x-{A_\mu }x} \right\| < \varepsilon \left\| x \right\|\quad \quad \left( { = \varepsilon ^{\prime}} \right)

\forall \mu ,\nu > m\left( \varepsilon \right),\quad \forall x \in E{{\backslash }}\left\{ 0 \right\}

Bei festgehaltenem x ist {\left\{ {{A_\nu }x} \right\}_{\nu \in \mathbb{N}}} eine Cauchy-Folge in F.

Da F vollständig ist, existiert für dieses festgehaltene x ein

A\left( x \right): = \mathop {\lim }\limits_{\nu \to \infty } {A_\nu }x \in F

für x \in E

A ist linear, denn

A\left( {\alpha x+\beta x^{\prime}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\nu \to \infty } {A_\nu }\left( {\alpha x+\beta x^{\prime}} \right) = \mathop {\lim }\limits_{\nu \to \infty } \left( {\alpha {A_\nu }x+\beta {A_\nu }x^{\prime}} \right)

= \alpha Ax+\beta Ax^{\prime}

A ist beschränkt, denn mit beliebigem {\nu _0} > m\left( \varepsilon \right) gilt:

\left\| {{A_\mu }x} \right\| \leq \left\| {{A_\mu }x-{A_{{\nu _0}}}x} \right\|+\left\| {{A_{{\nu _0}}}x} \right\|

\leq \varepsilon \left\| x \right\|+\left\| {{A_{{\nu _0}}}} \right\|\left\| x \right\| = \left( {\varepsilon +\left\| {{A_{{\nu _0}}}} \right\|} \right)\left\| x \right\|,\quad \forall \mu > m\left( \varepsilon \right),x \in E

Grenzübergang: \mu \to \infty

\mathop {\lim }\limits_{\mu \to \infty } \left\| {{A_\mu }x} \right\| = \left\| {\mathop {\lim }\limits_{\mu \to \infty } {A_\mu }x} \right\| = \left\| {Ax} \right\| \leq \left( {\varepsilon +\left\| {{A_{{\nu _0}}}} \right\|} \right)\left\| x \right\|,\quad \forall \mu > m\left( \varepsilon \right),x \in E

Also ist A beschränkt und somit stetig, d.h.

A \in \mathcal{L}\left( {E,F} \right).

Zu zeigen ist nun noch die Konvergenz in \mathcal{L}\left( {E,F} \right)

Beim Grenzübergang \mu \to \infty in \left\| {{A_\mu }x-{A_{{\nu _0}}}x} \right\| \leq \varepsilon \left\| x \right\|

folgt

\left\| {{A_\nu }x-Ax} \right\| \leq \varepsilon \left\| x \right\|,\quad \forall x \in E

und daher

\left\| {{A_\nu }-A} \right\| = \mathop {\sup }\limits_{x \ne 0} \frac{{\left\| {{A_\nu }x-Ax} \right\|}} {{\left\| x \right\|}} \leq \varepsilon \quad \forall \nu > m\left( \varepsilon \right)

Vorgehensweise bei diesem Beweis

  • Cauchy-Folge
  • Übergang zum Bildraum
  • Grenzelement im Bildraum
  • Abbildung auf Grenzelement
  • Linearität und Beschränktheit
  • Konvergenz