21 – Maximierung einer dreidimensionalen Funktion

 
  1. Zeigen Sie, dass die Menge\left\{ {\left( {x,y} \right) \in \mathbb{R}^2 |x \geq 0,y \geq 0,x+y \leq 60} \right\}

    abgeschlossen und beschränkt ist.

  2. Zeigen Sie, dass die Menge\left\{ {\left( {x,y} \right) \in \mathbb{R}^2 |x > 0,y > 0,x+y < 60} \right\}

    offen ist.

  3. Bestimmen Sie drei positive reelle Zahlen, deren Summe 60 und deren Produkt maximal ist. Es ist nicht nötig, eine Hesse-Matrix zu berechnen.

Lösung

a )

Wir betrachten zunächst als Beispiel die Menge

\left\{ {\left( {x,y} \right) \in \mathbb{R}^2 |x \leq 0} \right\}

Um herauszufinden, ob sie offen oder abgeschlossen ist, betrachten wir ihr Mengenkomplement

\mathbb{R}\backslash \left\{ {\left( {x,y} \right) \in \mathbb{R}^2 |x \leq 0} \right\} = \left\{ {\left( {x,y} \right) \in \mathbb{R}^2 |x > 0} \right\}

Im Bild ist das Mengenkomplement rechts dargestellt:

Es ist möglich, um jeden Punkt eine Kugel zu legen, so dass die gesamte Kugel innerhalb der Menge liegt, daher ist die Menge offen.
Die Betrachtete Menge ist also Mengenkomplement der offenen Menge also abgeschlossen.

Nun kommen wir zu der Menge

\left\{ {\left( {x,y} \right) \in \mathbb{R}^2 |x \geq 0,y \geq 0,x+y \leq 60} \right\}

Wir können sie als Schnittmenge aus drei Einzelmengen auffassen:

{x \geq 0}

{y \geq 0}

{x+y \leq 60}

Schnittmenge:

b )

Statt

\left\{ {\left( {x,y} \right) \in \mathbb{R}^2 |x > 0,y > 0,x+y < 60} \right\}

betrachten wir den Schnitt

\left\{ {\left( {x,y} \right) \in \mathbb{R}^2 |x > 0} \right\} \cap \left\{ {\left( {x,y} \right) \in \mathbb{R}^2 |y > 0} \right\} \cap \left\{ {\left( {x,y} \right) \in \mathbb{R}^2 |x+y < 60} \right\}

Als Schnittmenge von drei offenen Mengen ist auch dies wieder eine offene Menge.

c )

Es soll gelten:

x+y+z = 60

xyz = \max

Die zu maximierende Funktion hängt von drei Parametern ab:

g\left( {x,y,z} \right) = xyz

Wir formen zunächst die erste Bedingung um, damit wir die Funktion in Abhängigkeit von nur zwei Variablen ausdrücken können:

x+y+z = 60\quad \quad  \Rightarrow \quad \quad z = 60-x-y

\Rightarrow \quad f\left( {x,y} \right) = xy\left( {60-x-y} \right)

Nun suchen wir eine Extremstelle. Hierfür benötigen wir den Gradienten:

f\left( {x,y} \right) = xy\left( {60-x-y} \right) = 60xy-x^2 y+xy^2

f_x  = 60y-2xy-y^2

f_y  = 60x-x^2 -2xy

\nabla f = \left( {\begin{array} 60y-2xy-y^2   \\ 60x-x^2 -2xy  \\  \end{array} } \right)

An der Extremstelle verschwindet der Gradient:

\nabla f = \left( {\begin{array} 60y-2xy-y^2   \\ 60x-x^2 -2xy  \\  \end{array} } \right) = 0

60y-2xy-y^2  = 0

60x-x^2 -2xy = 0

Gleichsetzen:

60y-2xy-y^2  = 60x-x^2 -2xy

60y-y^2  = 60x-x^2

Auflösen durch quadratisches Ergänzen:

y^2 -60y = x^2 -60x\quad |+900

\left( {y-30} \right)^2  = \left( {x-30} \right)^2

y-30 = x-30

x = y

Dies setzen wir in eine Gleichung des Gradienten ein:

60y-2xy-y^2  = 0

60y-2y^2 -y^2  = 0

60y-3y^2  = 0

y^2 -20 = 0

Noch ein Mal quadratisch ergänzen:

y^2 -20 = 0\quad |+100

\left( {y-10} \right)^2  = 100

y-10 =  \pm 10

y_1  = 0\quad y_2  = 20

Die Zahlen sollen positiv sein, daher ist 20 die einzige Lösung.

Einsetzen:

x = y = 20

60 = x+y+z = 40+z\quad  \Rightarrow \quad z = 20

Die Zahlen sind also alle gleich 20. Ihr Produkt ist dann 203 = 8000.

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2 Kommentare zu “21 – Maximierung einer dreidimensionalen Funktion”

Hi. Ich glaube Die letzte ergenzung ist falsch.

Die letzt Ergänzung? Ich verstehe leider nicht was du meinst. Das Endergebnis von c) stimmt so.

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