.02.2 – Viskos gedämpfte Schwingung

 

Ein Kolben mit der Masse m bewegt sich federnd (Konstante c = 2 · c / 2) in einem mit Flüssigkeit (Dämpfungskonstante r) gefüllten Zylinder. Bei einer Geschwindigkeit von 1 m/s wirkt auf den Kolben die Dämpfungskraft FD.

Aufgabenstellung viskos gedämpfte Schwingung

Man ermittle die Periodendauer der schwach gedämpften Schwingung.

Man berechne das Lehrsche Dämpfungsmaß θ = δ / ω1.

Nach welcher Zeit t.5 ist eine freie Schwingung mit der Anfangsamplitude A0 auf den halben Amplitudenwert abgeklungen?

Gegeben: m = 2 kg, c = 5 N/mm, FD = 10 N

Lösung

Freigeschnittene Masse mit Bewegungsrichtung y:

Freigeschnittenes System viskose Dämpfung

Für die Dämpfungskraft gilt:

F_D  = r\dot y

Die Federkraft für die linke bzw. rechte Seite ist

F_{c/2}  = \frac{c} {2}y

Sie hat auf beiden Seiten das gleiche Vorzeichen, da die zusammengedrückte Feder sich ausdehnen und die gestreckte Feder sich zusammenziehen will. Alle Kräfte wirken der Bewegungsrichtung entgegen.

Schwerpunktsatz:

m\ddot y = -F_D -2F_{c/2}

\Rightarrow \quad m\ddot y = -r\dot y-cy

Wir lösen zu einer homogenen Differentialgleichung auf und teilen durch die Masse:

m\ddot y+r\dot y+cy = 0

\ddot y+\frac{r} {m}\dot y+\frac{c} {m}y = 0

Eine gedämpfte freie Schwingung hat eine DGL mit dem Aufbau

\ddot y+2\delta \dot y+\omega _1^2 y = 0

Koeffizientenvergleich ergibt:

\frac{r} {m} = 2\delta \quad  \Rightarrow \quad \delta  = \frac{r} {{2m}}

\frac{c} {m} = \omega _1^2 \quad  \Rightarrow \quad \omega _1  = \sqrt {\frac{c} {m}}

Hier ist noch die Dämpfungskonstante r unbekannt. Diese berechnen wir aus den Anfaben der Aufgabenstellung:

“Bei einer Geschwindigkeit von 1 m/s wirkt auf den Kolben die Dämpfungskraft FD.”

Daraus folgt:

F_D  = r\dot y\quad  \Rightarrow \quad 10N = r \cdot 1\frac{m} {s}\quad  \Rightarrow \quad r = 10\frac{{Ns}} {m} = 10\frac{{kg \cdot m \cdot s}} {{s^2  \cdot m}} = 10\frac{{kg}} {s}

Durch Einsetzen erhalten wir die Abklingkonstante

\delta  = \frac{r} {{2m}} = \frac{{10\frac{{kg}} {s}}} {{2 \cdot 2kg}} = 2,5\frac{1} {s}

und die Eigenkreisfrequenz des frei Schwingenden Systems

\omega _1  = \sqrt {\frac{c} {m}}  = \sqrt {\frac{{5N}} {{2kg \cdot mm}}}  = \sqrt {\frac{{5kg \cdot m}} {{2kg \cdot 0,001m \cdot s^2 }}}  = 50\frac{1} {s}

Für die Kreisfrequenz des gedämpften Systems folgt:

\omega _D  = \sqrt {\omega _1^2 -\delta ^2 }  = 49,9375\frac{1} {s}

Beantwortung der Aufgabenstellung

Die Periodendauer der gedämpften Schwingung ist:

T_D  = \frac{{2\pi }} {{\omega _D }} = 0,1258s

Für das Lehrsche Dämpfungsmaß ergibt sich:

\vartheta  = \frac{\delta } {{\omega _1 }} = 0,05

Die Zeit, nach der die Amplitude auf den halben Wert gesunken ist, berechnet man wie folgt:

Die Amplitude nimmt in einer Exponentialfunktion ab, es gilt

y\left( t \right) = Ae^{-\delta t} \sin \left( {\omega _d t+\varphi _0 } \right)\quad  \Rightarrow \quad \hat y\left( t \right) = Ae^{-\delta t}

Gesucht ist das Verhältnis

\frac{1} {2} = \frac{{\hat y\left( {t_0 +t_{.5} } \right)}} {{\hat y\left( {t_0 } \right)}} = \frac{{Ae^{-\delta \left( {t_0 +t_{.5} } \right)} }} {{Ae^{-\delta t_0 } }} = \frac{{Ae^{-\delta t_0 } }} {{Ae^{-\delta t_0 } }} \cdot e^{-\delta t_{.5} }  = e^{-\delta t_{.5} }

Wir bilden den Logarithmus:

\ln \frac{1} {2} = -\delta t_{.5} \quad  \Rightarrow \quad \frac{{\ln 2}} {\delta } = t_{.5}  = 0,277s