23 – Funktionalmatrix und mehrdimensionale Umkehrfunktion

Gegeben sie die Funktion

<br /> F:\left( {0,\infty } \right) \times \mathbb{R} \to \left( {0,\infty } \right) \times \mathbb{R},\quad \quad F\left( {x,y} \right) = \left( {x^2 ,xy^3 } \right) = :\left( {f_1 \left( {x,y} \right),f_2 \left( {x,y} \right)} \right)<br />

  1. Zeigen Sie, dass F umkehrbar ist mit der Umkehrfunktion

    <br /> F^{-1} \left( {u,v} \right) = \left( {\sqrt u ,\frac{{\sqrt[3]{v}}}<br /> {{\sqrt[6]{u}}}} \right)<br />

  2. Bestimmen Sie die Funktionalmatrix

    <br /> J\left( {F,\left( {x,y} \right)} \right)<br />

    von F, sowie die Inverse, wo diese existiert.

  3. Berechnen Sie die Funktionalmatrix

    <br /> J\left( {F^{-1} ,\left( {4,-2} \right)} \right)<br />

    von F-1 im Punkt (4, -2), ohne F-1 zu differenzieren.

Lösung

a )

Um die Umkehrfunktion zu erhalten, schreiben wir zunächst die beiden Teilfunktionen der mehrdimensionalen Funktion explizit auf:

<br /> f_1 \left( {x,y} \right) = x^2<br />

<br /> f_2 \left( {x,y} \right) = xy^3<br />

Für die Umkehrfunktion

<br /> F^{-1} \left( {u,v} \right)<br />

muss gelten:

<br /> u = x^2 \quad \quad v = xy^3<br />

umstellen:

<br /> x = \sqrt u ,\quad \quad y^3 = \frac{v}<br /> {x} = \frac{v}<br /> {{\sqrt u }}\quad \quad \Rightarrow \quad \quad y = \sqrt[3]{{\frac{v}<br /> {{\sqrt u }}}} = \frac{{\sqrt[3]{v}}}<br /> {{\sqrt[6]{u}}}<br />

b )

Die Funktionalmatrix einer Funktion mit dem Aufbau

<br /> F:\left( {0,\infty } \right) \times \mathbb{R} \to \left( {0,\infty } \right) \times \mathbb{R}<br />

<br /> F\left( {x,y} \right) = \left( {f_1 \left( {x,y} \right),f_2 \left( {x,y} \right)} \right)<br />

ist definiert als

<br /> J\left( {F,\left( {x,y} \right)} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}<br /> \frac{{\partial f_1 }}<br /> {{\partial x}} & \frac{{\partial f_1 }}<br /> {{\partial y}} \\<br /> \frac{{\partial f_2 }}<br /> {{\partial x}} & \frac{{\partial f_2 }}<br /> {{\partial y}} \\</p> <p>\end{array} } \right)<br />

Wir berechnen also die partiellen Ableitungen und erhalten:

<br /> J\left( {F,\left( {x,y} \right)} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}<br /> \frac{{\partial f_1 }}<br /> {{\partial x}} & \frac{{\partial f_1 }}<br /> {{\partial y}} \\<br /> \frac{{\partial f_2 }}<br /> {{\partial x}} & \frac{{\partial f_2 }}<br /> {{\partial y}} \\</p> <p>\end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}<br /> 2x & 0 \\<br /> y^3 & 3xy^2 \\</p> <p>\end{array} } \right)<br />

Die Inverse dieser Funktionalmatrix existiert dort, wo die Determinante der Jakobimatrix ungleich 0 ist:

<br /> \det \left( {J\left( {F,\left( {x,y} \right)} \right)} \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}<br /> \frac{{\partial f_1 }}<br /> {{\partial x}} & \frac{{\partial f_1 }}<br /> {{\partial y}} \\<br /> \frac{{\partial f_2 }}<br /> {{\partial x}} & \frac{{\partial f_2 }}<br /> {{\partial y}} \\</p> <p>\end{array} } \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}}<br /> 2x & 0 \\<br /> y^3 & 3xy^2 \\</p> <p>\end{array} } \right| = 6x^2 y^2<br />

Es müssen also sowohl x als auch y ungleich 0 sein.

Die Inverse wird über die Adjunkte der Matrix berechnet (Transponierte Matrix der Kofaktoren):

<br /> J^{-1} = \frac{1}<br /> {{\det J}}\left( {J^{adj} } \right)^T<br />

<br /> {\left( {{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}<br /> {2x} & 0 \\<br /> {{y^3}} & {3x{y^2}} \\</p> <p> \end{array} } \right)}^{adj}}} \right)^T} = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}<br /> {3x{y^2}} & { – {y^3}} \\<br /> 0 & {2x} \\</p> <p> \end{array} } \right)^T} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}<br /> {3x{y^2}} & 0 \\<br /> { – {y^3}} & {2x} \\</p> <p> \end{array} } \right)<br />

eingesetzt:

<br /> J^{-1} = \frac{1}<br /> {{\det J}}\left( {J^{adj} } \right)^T = \frac{1}<br /> {{6x^2 y^2 }}\left( {\begin{array}{*{20}{c}}<br /> 3xy^2 & 0 \\<br /> -y^3 & {2x} \\</p> <p>\end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}<br /> \frac{1}<br /> {{2x}} & 0 \\<br /> \frac{{-y}}<br /> {{6x^2 }} & \frac{1}<br /> {{3xy^2 }} \\</p> <p>\end{array} } \right)<br />

c )

Wir suchen nun die Funktionalmatrix

<br /> J\left( {F^{-1} ,\left( {4,-2} \right)} \right)<br />

Hierfür müssen wir zu dem Wertepaar (4, -2) zunächst die Werte für die Umkehrfunktion finden:

<br /> F\left( {x,y} \right) = \left( {\underbrace 4_u,\underbrace {-2}_v} \right)<br />

<br /> F^{-1} \left( {x,y} \right) = \left( {\sqrt u ,\sqrt[3]{{\frac{v}<br /> {{\sqrt u }}}}} \right) = \left( {2,-1} \right)<br />

Es gilt:

<br /> J\left( {F^{-1} ,\left( {x,y} \right)} \right) = J\left( {F,\left( {x,y} \right)} \right)^{-1}<br />

<br /> J\left( {F^{-1} ,\left( {4,2} \right)} \right) = J\left( {F,\left( {2,-1} \right)} \right)^{-1} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}<br /> \frac{1}<br /> {4} & 0 \\<br /> \frac{1}<br /> {{24}} & \frac{1}<br /> {6} \\</p> <p>\end{array} } \right)<br />

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