23 – Funktionalmatrix und mehrdimensionale Umkehrfunktion

 

Gegeben sie die Funktion

F:\left( {0,\infty } \right) \times \mathbb{R} \to \left( {0,\infty } \right) \times \mathbb{R},\quad \quad F\left( {x,y} \right) = \left( {x^2 ,xy^3 } \right) = :\left( {f_1 \left( {x,y} \right),f_2 \left( {x,y} \right)} \right)

  1. Zeigen Sie, dass F umkehrbar ist mit der Umkehrfunktion

    F^{-1} \left( {u,v} \right) = \left( {\sqrt u ,\frac{{\sqrt[3]{v}}} {{\sqrt[6]{u}}}} \right)

  2. Bestimmen Sie die Funktionalmatrix

    J\left( {F,\left( {x,y} \right)} \right)

    von F, sowie die Inverse, wo diese existiert.

  3. Berechnen Sie die Funktionalmatrix

    J\left( {F^{-1} ,\left( {4,-2} \right)} \right)

    von F-1 im Punkt (4, -2), ohne F-1 zu differenzieren.

Lösung

a )

Um die Umkehrfunktion zu erhalten, schreiben wir zunächst die beiden Teilfunktionen der mehrdimensionalen Funktion explizit auf:

f_1 \left( {x,y} \right) = x^2

f_2 \left( {x,y} \right) = xy^3

Für die Umkehrfunktion

F^{-1} \left( {u,v} \right)

muss gelten:

u = x^2 \quad \quad v = xy^3

umstellen:

x = \sqrt u ,\quad \quad y^3  = \frac{v} {x} = \frac{v} {{\sqrt u }}\quad \quad  \Rightarrow \quad \quad y = \sqrt[3]{{\frac{v} {{\sqrt u }}}} = \frac{{\sqrt[3]{v}}} {{\sqrt[6]{u}}}

b )

Die Funktionalmatrix einer Funktion mit dem Aufbau

F:\left( {0,\infty } \right) \times \mathbb{R} \to \left( {0,\infty } \right) \times \mathbb{R}

F\left( {x,y} \right) = \left( {f_1 \left( {x,y} \right),f_2 \left( {x,y} \right)} \right)

ist definiert als

J\left( {F,\left( {x,y} \right)} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \frac{{\partial f_1 }} {{\partial x}} & \frac{{\partial f_1 }} {{\partial y}}  \\ \frac{{\partial f_2 }} {{\partial x}} & \frac{{\partial f_2 }} {{\partial y}}  \\  \end{array} } \right)

Wir berechnen also die partiellen Ableitungen und erhalten:

J\left( {F,\left( {x,y} \right)} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \frac{{\partial f_1 }} {{\partial x}} & \frac{{\partial f_1 }} {{\partial y}}  \\ \frac{{\partial f_2 }} {{\partial x}} & \frac{{\partial f_2 }} {{\partial y}}  \\  \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2x & 0  \\ y^3  & 3xy^2   \\  \end{array} } \right)

Die Inverse dieser Funktionalmatrix existiert dort, wo die Determinante der Jakobimatrix ungleich 0 ist:

\det \left( {J\left( {F,\left( {x,y} \right)} \right)} \right) = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} \frac{{\partial f_1 }} {{\partial x}} & \frac{{\partial f_1 }} {{\partial y}}  \\ \frac{{\partial f_2 }} {{\partial x}} & \frac{{\partial f_2 }} {{\partial y}}  \\  \end{array} } \right| = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} 2x & 0  \\ y^3  & 3xy^2   \\  \end{array} } \right| = 6x^2 y^2

Es müssen also sowohl x als auch y ungleich 0 sein.

Die Inverse wird über die Adjunkte der Matrix berechnet (Transponierte Matrix der Kofaktoren):

J^{-1}  = \frac{1} {{\det J}}\left( {J^{adj} } \right)^T

{\left( {{{\left( {\begin{array}{*{20}{c}}    {2x} & 0  \\    {{y^3}} & {3x{y^2}}  \\   \end{array} } \right)}^{adj}}} \right)^T} = {\left( {\begin{array}{*{20}{c}}    {3x{y^2}} & { - {y^3}}  \\    0 & {2x}  \\   \end{array} } \right)^T} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}}    {3x{y^2}} & 0  \\    { - {y^3}} & {2x}  \\   \end{array} } \right)

eingesetzt:

J^{-1}  = \frac{1} {{\det J}}\left( {J^{adj} } \right)^T  = \frac{1} {{6x^2 y^2 }}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3xy^2  & 0  \\ -y^3  & {2x}  \\  \end{array} } \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \frac{1} {{2x}} & 0  \\ \frac{{-y}} {{6x^2 }} & \frac{1} {{3xy^2 }}  \\  \end{array} } \right)

c )

Wir suchen nun die Funktionalmatrix

J\left( {F^{-1} ,\left( {4,-2} \right)} \right)

Hierfür müssen wir zu dem Wertepaar (4, -2) zunächst die Werte für die Umkehrfunktion finden:

F\left( {x,y} \right) = \left( {\underbrace 4_u,\underbrace {-2}_v} \right)

F^{-1} \left( {x,y} \right) = \left( {\sqrt u ,\sqrt[3]{{\frac{v} {{\sqrt u }}}}} \right) = \left( {2,-1} \right)

Es gilt:

J\left( {F^{-1} ,\left( {x,y} \right)} \right) = J\left( {F,\left( {x,y} \right)} \right)^{-1}

J\left( {F^{-1} ,\left( {4,2} \right)} \right) = J\left( {F,\left( {2,-1} \right)} \right)^{-1}  = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} \frac{1} {4} & 0  \\ \frac{1} {{24}} & \frac{1} {6}  \\  \end{array} } \right)